Mathématiques : étude de fonctions

Fonction sinus : définie sur $\mathbb R$, impaire et $2\pi$-périodique, $\sin’(x)=\cos(x)$

Fonction cosinus : définie sur $\mathbb R$, paire et $2\pi$-périodique, $\cos’(x)=-\sin(x)$

Fonction tangente : définie sur $\displaystyle \mathbb R-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb Z\right\}$, impaire, $\pi$-périodique, $ \tan’(x)=\displaystyle\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$

Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=e^x$

Propriétés : 

• Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
• Pour tout réel $a$, $\displaystyle\mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
• Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$ 
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
• La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$ 

Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.

Propriétés : 

• Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$ 
• Pour tout $x\in ]0 ~;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
• $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
• La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle \frac{u’(x)}{u(x)}$

Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.

Définition : Soit $f$ une fonction définie de $E$ dans $F$ et $g$ une fonction définie de $F$ dans $G$.
On définit la fonction composée $g\circ f$ définie sur $E$ à valeurs dans $G$ par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Propriété : Si la fonction composée est dérivable, $(f\circ g)’(x)=f’(g(x))\times g’(x)$

Définition : Soit $f$ une fonction bijective de l’intervalle $I$ sur l’intervalle $J$.

Il existe une unique fonction définie sur $J$ à valeurs dans $I$ appelée fonction réciproque et notée $f^{-1}$ telle que :

• Pour tout $x\in I$, $f^{-1}\circ f(x)=x$
• Pour tout $y\in J$, $f\circ f^{-1}(y)=y$.

Exemple : La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

Formule de Taylor :

Soit $f$ une fonction réelle définie sur un voisinage de $a$ et dérivable $n$ fois en $a$. Alors, pour tout $t$ dans ce voisinage, 
$f(t)=P_n(t)+(t-a)^n\alpha(t)$ 
Avec $P_n(t)=f(a)+f’(a)(t-a)+f’’(a)\displaystyle\frac{(t-a)^2}{2 !}+$ $\cdots$ $\displaystyle +f^{(n)}(a)\frac{(t-a)^n}{n !}$ et $\displaystyle\lim_{t\to a}\alpha(t)=0$.

$P_n$ est appelé développement limité à l’ordre $n$ de $f$ en $a$.
$(t-a)^n\alpha(t)$, est appelé reste, souvent noté $o((t-a)^n)$.

Propriétés : Soient deux fonctions $f$ et $g$ dont les développements limités à l’ordre $n$ en 0 sont respectivement $P_n$ et $Q_n$.

• Le développement limité de $f+g$ est égal à $P_n+Q_n$.
• Le développement limité de $fg$ s’obtient en calculant le produit $P_nQ_n$ et en ne gardant que les monômes de degré inférieur ou égal à $n$.

Développements limités usuels au voisinage de 0 :

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^2+$ $\ldots$ $\displaystyle +\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !}x^n+\mathrm o(x^n)$

$\mathrm e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^ 3}{3 !}+$ $\ldots$ $\displaystyle +\frac{x^n}{n !}+\mathrm o(x^n)$

$\ln(1-x)=-x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- \ldots -\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

$\sin(x)=x-\displaystyle\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\ldots$

$\cos(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\ldots$

Application à la recherche d’extrema

Soit $f$ une fonction définie et $n$ ($n\geq 2$) fois dérivable sur un intervalle $I$.
Supposons qu’il existe dans $I$ un réel $a$ tel que :
$f’(a)=…=f^{(n-1)}(a)=0$
$f^{(n)}(a)\neq 0$

Alors au voisinage de $a$, $f(x)-f(a)$ a même signe que $ (x-a)^nf^{(n)}(a)$ :

• Si $n$ est pair, $f(x)-f(a)$ a le même signe que $f^{(n)}(a)$
      - Si $f^{(n)}(a)\geq 0$, $f$ admet un minimum local en $a$
      - Si $f^{(n)}(a)\leq 0$, $f$ admet un maximum local en $a$
• Si $n$ est impair, $(x-a)^n$ change de signe et par conséquent $f$ n’admet pas d’extremum local en $a$.
  

Soit $f$ une fonction à deux variables différentiable :
$f:\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R\\
\quad (x,y) \mapsto f(x,y)$

$(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ si $\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\\
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0
\end{array}\right.$.

Les extrema d’une fonction à deux variables se recherchent parmi les points critiques.

Notations de Monge :

$r=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\\
s=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)\\
t=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)$

Si $tr-s^2>0$, $f$ admet un extrémum strict en $ (x_0,y_0)$. C’est un maximum si $r<0$ et un minimum si $r>0$.
Si $tr-s^2<0$, le point $ (x_0,y_0)$ n’est pas un extrémum de $f$. C’est un point selle (également appelé point col).