Fonction sinus : définie sur $\mathbb R$, impaire et $2\pi$-périodique, $\sin’(x)=\cos(x)$
Fonction cosinus : définie sur $\mathbb R$, paire et $2\pi$-périodique, $\cos’(x)=-\sin(x)$
Fonction tangente : définie sur $\displaystyle \mathbb R-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb Z\right\}$, impaire, $\pi$-périodique, $ \tan’(x)=\displaystyle\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$
Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=e^x$
Propriétés :
- Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
- Pour tout réel $a$, $\displaystyle\mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
- Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
- La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$
Fonction logarithme népérien : définie sur $]0~ ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.
Propriétés :
- Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln\left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$
- Pour tout $x\in ]0 ~;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
- La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle \frac{u’(x)}{u(x)}$
Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.