Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Par exemple F(x)=2x−1x3−7x+1. Si on veut chercher une primitive (ou aussi dériver plusieurs fois) une fraction rationnelle, on est amené à décomposer la fraction en somme de fractions plus simples. Cette technique s'appelle la décomposition en éléments simples (DES). Nous allons la décrire en plusieurs étapes.

1) La première chose à faire est de faire un peu le ménage dans la fraction. Par exemple, avant de décomposer F(x)=x4−x2(x−1)2, il faut d'abord simplifier la fraction. Pour cela, on factorise (il faut penser parfois aux identités remarquables) : 

G(x)=x2(x2−1)(x−1)2=x2(x−1)(x+1)(x−1)2=x2(x+1)x−1.

Donc la fraction que l'on décompose est G(x)=x3+x2x−1.

2) À partir de maintenant on supposera que notre fraction F(x)=P(x)Q(x) est simplifiée au maximum. Si le numérateur P a un degré ≥ au degré du dénominateur Q alors il y a une partie entière. C'est-à-dire que F se décompose en F=E+G avec E un polynôme et G une fraction rationnelle qui a un dénominateur de degré > que le degré du numérateur. Pour trouver E et G, on effectue la division euclidienne du polynôme P par le polynôme Q.

Voici un exemple simple où il n'y a pas besoin de division euclidienne : F(x)=xx+1. L'astuce consiste à faire apparaître au numérateur le dénominateur en écrivant F(x)=xx+1=x+1−1x+1=x+1x+1−1x+1=1−1x+1 (la partie entière est donc le polynôme constant 1).

3) PÔLES SIMPLES.

Supposons à présent que notre fraction n'a pas de partie entière. On factorise le dénominateur. Par exemple soit :

F(x)=1x2−x−2=1(x+1)(x−2).

Les valeurs d'annulation du dénominateur soit −1 et 2 s'appellent des pôles de la fraction F. Ici il s'agit de pôles SIMPLES car les facteurs (x+1) et (x−2) sont à la puissance 1.
 La théorie nous dit alors que la DES de F est du type F(x)=ax+1+bx−2 avec des coefficients a et b à chercher.
Une méthode serait de mettre tout sur le même dénominateur et d'identifier avec le numérateur de la fraction initiale qui est 1. Cette méthode est possible si il n'y a pas trop de fractions à additionner (ici il n'y a que deux fractions).
La méthode générale est la suivante : on définit la fraction :

F−1(x)=(x+1)F(x) soit F−1(x)=1x−2. 

(Remarque : on indice F par le pôle. Ici le pôle est −1 donc on note F−1. Si le pôle était 5, on noterait F5).
On a alors a=F−1(−1) ce qui donne ici a=1−1−2=−13. 

De même, pour avoir b, on définit F2(x)=(x−2)F(x)=1x+1. Alors b=F2(2)=13. On a donc finalement :

F(x)=1/3x+1+−1/3x−2=13(1x+1−1x−2). 

4) PÔLES DOUBLES.

Soit par exemple la fraction F(x)=4x3x4−2x2+1 (elle n'a pas de partie entière). On factorise le dénominateur. On remarque (ou pas !) que le dénominateur est une identité remarquable. 

On a :

x4−2x2+1=(x2−1)2=[(x−1)(x+1)]2=(x−1)2(x+1)2.

La fraction s'écrit donc F(x)=4x2(x−1)2(x+1)2. Ici, F a deux pôles 1 et −1. Mais comme les facteurs x−1 et x+1 sont au carré, on dit qu'il s'agit de pôles DOUBLES. La théorie dit alors que la DES de F est du type :

F(x)=ax+1+b(x+1)2+cx−1+d(x−1)2.

Pour déterminer a et b, on définit à présent :

F−1(x)=(x+1)2F(x)=4x3(x−1)2.

On a alors la formule :

b=F−1(−1)==−4(−1−1)2=−44=−1. 

La théorie nous dit aussi que a=F′−1(−1) (la dérivée de F−1 appliquée en −1.) 

Or F′−1(x)=12x2(x−1)2−4x32(x−1)(x−1)4=12x2(x−1)−8x3(x−1)3 (inutile de développer !). On remplace x par −1 : a=F′−1(−1)=168=2 donc a=2. 

Pour déterminer c et d, on définit à présent :

F1(x)=(x−1)2F(x)=4x3(x+1)2.

On a alors la formule :

d=F1(1)=4(1+1)2=44=1. 

La théorie nous dit aussi que c=F′1(1). Or :

F′1(x)=12x2(x+1)2−4x32(x+1)(x+1)4=12x2(x+1)−8x3(x+1)3.

On remplace x par 1 : c=F′1(1)=168=2 donc c=2. 

Au final, on a donc :

F(x)=2x+1−1(x+1)2+2x−1+1(x−1)2.

5) ÉLÉMENTS DE DEUXIÈMES ESPÈCES

Parfois le dénominateur présente des facteurs de degré 2 qui ne se factorise pas (discriminant <0).
Dans ce cas, on dispose de quelques "astuces" pour faire la DES.

On considère par exemple la fraction :

F(x)=xx4−2x3+2x2−2x+1.

Cette fraction ne présente pas de partie entière. 

Pour factoriser le dénominateur, soit on voit une racine évidente, en l'occurrence 1, et on fait la division euclidienne du dénominateur par x−1 et on continue à factoriser.

Soit on écrit  :

x4−2x3+2x2−2x+1=x4−2x3+x2+x2−2x+1=x2(x2−2x+1)+(x2−2x+1)=x2(x−1)2+(x−1)2=(x2+1)(x−1)2.

On a donc :

F(x)=x(x2+1)(x−1)2.

La fraction F a un pôle double qui est 1. Le facteur x2+1 n'a pas de racines dans les réels. La théorie nous dit alors que la DES est de la forme :

F(x)=ax−1+b(x−1)2+cx+dx2+1.

La fraction cx+dx2+1 s'appelle un élément de deuxième espèce. 

Nous avons vu la méthode pour déterminer les coefficients a et b (cas d'un pôle double). Après calcul, on trouve, a=0 et b=1/2. 

Pour déterminer c et d, on utilise parfois les « astuces » suivantes. On calcule, par exemple, la limite en +∞ de xF(x). Si on utilise la définition initiale de F, on a :

xF(x)=x2x4−2x3+2x2−2x+1. 

On sait que limx→+∞xF(x)=limx→+∞x2x4 (on prend le quotient des monômes de plus haut degré). 

Donc :

limx→+∞xF(x)=limx→+∞1x2=0. 

Si on utilise la DES :

xF(x)=axx−1+bx(x−1)2+cx2+dx2+1.

La 1ère fraction tend (en +∞) vers a donc vers 0.

La 2ème fraction tend vers 0.

La 3ème fraction a la même limite que cx2x2 (quotient des monômes de plus haut degré) donc vers c.

On en déduit l'égalité 0=0+0+c donc c=0.

Pour déterminer d on peut évaluer F en un point par exemple en 0. 

Si on utilise la définition initiale de F, on a F(0)=0.

Si on utilise la DES :

F(0)=−a+b+d=−0+1/2+d donc 0=1/2+d donc d=−1/2.

Finalement, on a :

F(x)=1/2(x−1)2+−1/2x2+1=12(1(x−1)2−1x2+1).