Mécanique des fluides

Equation de la statique des fluides

On considère une particule de fluide centrée au point $M$, de volume $dV$ dans un repère $(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}},\overrightarrow{u_{z}})$ avec $\overrightarrow{u_{z}}$ orienté vers le haut, de façon à avoir l'accélération de la pesanteur qui s'exprime $\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{u_{z}}$.

Si on note $\rho$ la masse volumique du fluide, l'équation de la statique des fluides s'écrit (avec $P$ la pression au sein du fluide):

Dérivée particulaire

Dans la description eulérienne du champ de vitesse au sein d'un fluide, il est possible de formuler la dérivée particulaire du champ de vitesse $\overrightarrow{v}(M,t)$ en un point $M$ et à un instant $t$ de la manière suivante:

\begin{equation*}
\dfrac{D\overrightarrow{v}(M,t)}{Dt} = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}(M,t)}{\partial t} + (\overrightarrow{v}(M,t).\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}(M,t)
\end{equation*}

Si en coordonnées cartésiennes de base $(\overrightarrow{u_{x}},\overrightarrow{u_{y}},\overrightarrow{u_{z}})$ on a $\overrightarrow{v}(M,t) = v_{x}(M,t)\overrightarrow{u_{x}} + v_{y}(M,t)\overrightarrow{u_{y}} + v_{z}(M,t)\overrightarrow{u_{z}}$ alors (en omettant $(M,t)$ pour alléger la notation):

\begin{equation*}
(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v} = (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}(v_{x}))v_{x}\overrightarrow{u_{x}} + (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}(v_{y}))v_{y}\overrightarrow{u_{y}} + (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{grad}(v_{z}))v_{z}\overrightarrow{u_{z}}
\end{equation*}

Equation de Navier-Stokes

Dans un référentiel galiléen, une particule de fluide incompressible de volume élémentaire $dV$ centrée en $M$, de vitesse $\overrightarrow{v}(M,t)$, de masse volumique constante $\rho$ et de viscosité $\eta$ est soumise à des forces volumiques de pression $-\overrightarrow{grad}[p(M,t)]$, des forces volumiques de viscosité $\eta \Delta \overrightarrow{v}(M,t)$ et d'autres forces extérieures volumiques $\overrightarrow{f_{v}}(M,t)$. L'équation de la dynamique s'écrit, pour la description eulérienne du champ de vitesse:

\begin{equation*}
\rho\dfrac{D\overrightarrow{v}(M,t)}{Dt} = -\overrightarrow{grad}[p(M,t)] + \eta \Delta \overrightarrow{v}(M,t) + \overrightarrow{f_{v}}(M,t)
\end{equation*}

Le terme $\rho (\overrightarrow{v}(M,t).\overrightarrow{grad})\overrightarrow{v}(M,t)$ est appelé terme convectif.

Traduction sous forme d'équation d'hypothèses faites en mécanique des fluides

Si le régime d'écoulement est établi, alors en tout point:

\begin{equation*}
\dfrac{\partial \overrightarrow{v}(M,t)}{\partial t} = \overrightarrow{0}
\end{equation*}

Si le fluide est incompressible alors en tout point et pour tout $t$:

\begin{equation*}
div[\overrightarrow{v}(M,t)] = 0
\end{equation*}

Si l'écoulement est irrotationnel alors il existe un potentiel des vitesse $\phi$ tel que:

\begin{equation*}
\overrightarrow{rot}[\overrightarrow{v}(M,t)] = \overrightarrow{0} ~\Leftrightarrow~ \overrightarrow{v}(M,t)=\overrightarrow{grad}[\phi(M,t)]
\end{equation*}

Si l'écoulement est unidirectionnel et dépend d'une variable d'espace autre que la variable relative à la direction d'écoulement, alors le terme convectif est nul. Par exemple si le champ de vitesse s'écrit $\overrightarrow{v}(M,t)=v_{x}(y,t)\overrightarrow{u_{x}}$, il est dirigé selon $\overrightarrow{u_{x}}$ mais ne dépend que de la variable $y$. Dans ce cas le calcul du terme convectif donne le vecteur nul.

Théorème de Bernoulli

Hypothèses
Dans le cas général, le théorème de Bernoulli s'applique si les conditions suivantes sont respectées :

• L'écoulement est parfait (viscosité nulle)
• L'écoulement est stationnaire (indépendant du temps)
• L'écoulement est homogène (masse volumique constante en tout point)
• L'écoulement est incompressible ($div(\overrightarrow{v})=0$)

Alors en 2 points $A$ et $B$ d'une même ligne de courant on a la relation suivante:

Equation de Bernoulli

\begin{equation*}
\dfrac{p_{B}}{\rho} + gz_{B}+\dfrac{v_{B}^{2}}{2} = \dfrac{p_{A}}{\rho} + gz_{A}+\dfrac{v_{A}^{2}}{2}
\end{equation*}

Avec $\rho$ la masse volumique du fluide, $p_{\Box}$ la pression au point $\Box$, $z_{\Box}$ l'altitude au point $\Box$, $g$ l'accélération de la pesanteur et $v_{\Box}$ la norme de la vitesse au point $\Box$.

Si on ajoute aux hypothèses précédentes le caractère irrotationnel du fluide, alors la relation ci-dessus est vraie en tout point du fluide, plus seulement sur une même ligne de courant.

Ecoulement de Poiseuille

Hypothèses
On se place dans le cadre de l'écoulement de Poiseuille si les hypothèses suivantes sont respectées : 

• L'écoulement est visqueux
• L'écoulement est laminaire (nombre de Reynolds inférieur à 2000 environ)
• L'écoulement est stationnaire (indépendant du temps) (*)
• L'écoulement est homogène (masse volumique constante en tout point)
• L'écoulement est incompressible ($div(\overrightarrow{v})=0$)
• L'écoulement est unidirectionnel et dépend d'une variable autre que celle associée à la direction d'écoulement (**)
• Il n'y a pas d'autre force volumique que celles de pression, gravité, viscosité

Conséquence des hypothèses précédentes

L'équation de Navier-Stokes se simplifie puisque la dérivée particulaire est nulle par les hypothèses (*) et (**). Elle devient :

\begin{equation*}
\overrightarrow{0} = -\overrightarrow{grad}[p(M,t)] + \eta \Delta \overrightarrow{v}(M,t) + \rho\overrightarrow{g}
\end{equation*}

Pour résoudre cette équation vectorielle on essaie de montrer que la pression et la vitesse ne dépendent pas des mêmes variables pour obtenir 2 équations vectorielles distinctes, une faisant intervenir la pression, l'autre la vitesse.