Dérivation d’un vecteur par rapport au temps

On appelle vecteur position d’un point M par rapport à un repère cartésien R1=(O1,x1,y1,z1) le vecteur qui lie le point M à l’origine (fixe) du repère R1 :

O1M=x(t)x1+y(t)y1+z(t)z1



Le vecteur vitesse par rapport au repère R1 s’écrit :

VM/R1=dO1Mdt|R1=˙x(t)x1+˙y(t)y1+˙z(t)z1



On considère maintenant un repère cartésien R2=(O2=O1,x2,y2,z2) en rotation par rapport au repère R1 autour de l’axe z1=z2 :





On définit le vecteur vitesse de rotation de R2 par rapport à R1 :

ΩR2/R1=˙θ(t)z1


La formule de Bour permet d’exprimer la dérivée d’un vecteur dans une base par rapport à une base mobile :

dO1Mdt|R1=dO1Mdt|R2+ΩR2/R1O1M


Si on définit un troisième repère mobile R3 on peut montrer la formule de composition des vitesses de rotation :

ΩR3/R1=ΩR3/R2+ΩR2/R1


Cinématique du solide

Soit A un point d’un solide indéformable lié à un repère R1 en mouvement par rapport à un repère R0. La vitesse de ce point A peut être reliée à la vitesse d’un point B par la formule de Varignon :

VB,R1/R0=VA,R1/R0+BAΩR1/R0


Comme pour le vecteur vitesse de rotation, on a la formule de composition en vitesse en un même point A :

VA,R3/R1=VA,R3/R2+VA,R2/R1


Cinématique du contact

Soient 2 solides S et S en contact au point I, Soit R0 un repère fixe. On définit la vitesse de glissement par :

VI,S/S=VI,S/R0VI,S/R0


Lorsqu’il y a roulement sans glissement on a VI,S/S=0