Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
On appelle vecteur position d’un point M par rapport à un repère cartésien R1=(O1,→x1,→y1,→z1) le vecteur qui lie le point M à l’origine (fixe) du repère R1 :
→O1M=x(t)→x1+y(t)→y1+z(t)→z1
Le vecteur vitesse par rapport au repère R1 s’écrit :
→VM/R1=d→O1Mdt|R1=˙x(t)→x1+˙y(t)→y1+˙z(t)→z1
On considère maintenant un repère cartésien R2=(O2=O1,→x2,→y2,→z2) en rotation par rapport au repère R1 autour de l’axe →z1=→z2 :
On définit le vecteur vitesse de rotation de R2 par rapport à R1 :
→ΩR2/R1=˙θ(t)→z1
La formule de Bour permet d’exprimer la dérivée d’un vecteur dans une base par rapport à une base mobile :
d→O1Mdt|R1=d→O1Mdt|R2+→ΩR2/R1∧→O1M
Si on définit un troisième repère mobile R3 on peut montrer la formule de composition des vitesses de rotation :
→ΩR3/R1=→ΩR3/R2+→ΩR2/R1
Cinématique du solide
Soit A un point d’un solide indéformable lié à un repère R1 en mouvement par rapport à un repère R0. La vitesse de ce point A peut être reliée à la vitesse d’un point B par la formule de Varignon :
→VB,R1/R0=→VA,R1/R0+→BA∧→ΩR1/R0
Comme pour le vecteur vitesse de rotation, on a la formule de composition en vitesse en un même point A :
→VA,R3/R1=→VA,R3/R2+→VA,R2/R1
Cinématique du contact
Soient 2 solides S et S′ en contact au point I, Soit R0 un repère fixe. On définit la vitesse de glissement par :
→VI,S/S′=→VI,S/R0−→VI,S′/R0
Lorsqu’il y a roulement sans glissement on a →VI,S/S′=→0