Dynamique du solide indéformable

Caractéristiques de géométrie des masses

Centre d’inertie pour un ensemble de masses ponctuelles : Soient $M_{1},…,M_{n}$ des points de l’espace auxquels on associe respectivement les masses $m_{1},…,m_{n}$. Par définition le centre d’inertie $G$ de cet ensemble de points est défini par $m_{1}\overrightarrow{M_{1}G}+…+ m_{n}\overrightarrow{M_{n}G}=\vec{0}$. Pour un solide $S$ de forme donnée, le centre d’inertie $G$ est défini par $\int_{S}\overrightarrow{MG}dm = \vec{0}$.

On définit le moment d’inertie comme la résistance à mettre en rotation un solide. Le moment d’inertie dépend de la masse du solide et de sa géométrie. Pour un mouvement de translation, l’inertie n’est autre que la masse du solide. Plus le solide est lourd, plus il est dur de lui faire appliquer un mouvement de translation rectiligne.

Matrice d’inertie

Soit $\overrightarrow{OM} = (x,y,z)$ le vecteur position du point $M$ dans le solide $S$ homogène de masse volumique $\rho$. On définit la matrice d’inertie par :

$$\begin{equation*} I(O,S) = \begin{pmatrix} \int_{M \in S}(y^{2}+z^{2})dm & -\int_{M \in S}xy dm & -\int_{M \in S}xz dm \\ -\int_{M \in S}xy dm & \int_{M \in S}(x^{2}+z^{2})dm & -\int_{M \in S}yz dm \\ -\int_{M \in S}xz dm & -\int_{M \in S}yz dm & \int_{M \in S}(x^{2}+y^{2})dm \\ \end{pmatrix} \end{equation*}$$


Si $G$ est le centre de gravité du solide $S$ défini par le vecteur $\overrightarrow{OG}=(a,b,c)$, alors $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM}$. On associe à $\overrightarrow{OM}$ la matrice d’inertie $I(O,S)$ et à $\overrightarrow{GM}$ la matrice d’inertie $I(G,S)$. Le théorème de Huygens permet alors de lier les 2 matrices d’inertie :

$$\begin{equation*} I(O,S) = I(G,S) +m \begin{pmatrix} (b^{2}+c^{2}) & -ab & -ac \\ -ab & (a^{2}+c^{2}) & -bc \\ -ac & -bc & (a^{2}+b^{2}) \end{pmatrix} \end{equation*}$$


Torseur cinétique:}$Soit$S$un solide de masse$m$et de centre de gravité$G$, on peut définir un torseur cinétique en tout point$M$du solide$S$par rapport au repère$R$: \begin{equation*} \{ \mathcal{C}_{S/R} \} = \left\{ \begin{array}{c} m\overrightarrow{V_{G,S/R}} \\ \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}} \end{array} \right\}_{A} \end{equation*} Le moment cinétique$\overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}$respecte la formule de Varignon : \begin{equation*} \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}=\overrightarrow{\sigma_{B,S/R}}+\overrightarrow{AB} \wedge m\overrightarrow{V_{G,S/R}} \end{equation*} De plus il est possible de montrer que : \begin{equation*} \overrightarrow{\sigma_{A,S/R}} = \overrightarrow{AG} \wedge m\overrightarrow{V_{A,S/R}} + I(A,S)\overrightarrow{\Omega_{S/R}} \end{equation*} Si$A$est fixe ou confondu avec$G$ l’écriture du moment cinétique est simplifiée.

Torseur dynamique

Soit $S$ un solide de masse $m$ et de centre de gravité $G$, on peut définir un torseur dynamique en tout point $M$ du solide $S$ par rapport au repère $R$ :

$$\begin{equation*} \{ \mathcal{D}_{S/R} \} = \left\{ \begin{array}{c} m\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}} \\ \overrightarrow{\delta_{A,S/R}} \end{array} \right\}_{A} \end{equation*}$$

$\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}}$ est l’accélération du point $G$ appartenant à $S$ par rapport au repère $R$. Le moment dynamique $\overrightarrow{\delta_{A,S/R}}$ respecte la formule de Varignon :

$$\begin{equation*} \overrightarrow{\delta_{A,S/R}}=\overrightarrow{\delta_{B,S/R}}+\overrightarrow{AB} \wedge m\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}} \end{equation*}$$

De plus il est possible de déduire le vecteur $\overrightarrow{\delta_{A,S/R}}$ des éléments du torseur cinétique via :

$$\begin{equation*} \overrightarrow{\delta_{A,S/R}}=\left.\dfrac{d\overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}}{dt}\right|_{R} + \overrightarrow{V_{A,S/R}} \wedge m\overrightarrow{V_{G,S/R}} \end{equation*}$$