Définition de milieu continu

Dans un milieu continu, les propriétés physiques évoluent de manière continue d'un point à un autre. Cela implique que le milieu étudié est observé à une échelle suffisamment grande pour négliger les discontinuités de la matière à l'échelle atomique.

Pour la suite lorsqu'un élément de volume d'un solide continu sera isolé, cet élément de volume bien que très petit aura des dimensions très grandes devant les distances inter-atomes.

Notion de vecteur contrainte

On considère un solide $\mathcal{S}$ soumis à des efforts extérieurs. Il est possible de choisir au sein de ce solide un point $M$ auquel on associe un élément de surface $dS$ d'orientation quelconque mais de vecteur normal $\overrightarrow{n}$. On peut aussi définir un vecteur $\overrightarrow{t}$ unitaire et tangent à $dS$. Il existe 2 vecteurs normaux possibles: $\overrightarrow{n}$ et $-\overrightarrow{n}$ tandis qu'il existe une infinité de vecteurs tangents.

On peut alors définir un vecteur contrainte $\overrightarrow{T}(M,\overrightarrow{n})$ tel que l'élément de force de cohésion de la matière qui s'applique sur cette facette s'écrive $d\overrightarrow{f} = \overrightarrow{T}(M,\overrightarrow{n})dS$.



Tenseur des contraintes

Le vecteur contrainte $\overrightarrow{T}(M,\overrightarrow{n})$ dépend de la position du point $M$ au sein du solide et de l'orientation $\overrightarrow{n}$ de l'élément de surface associé à ce point. Il est possible d'exprimer le vecteur de contrainte comme le produit d'une fonction de $M$ uniquement et du vecteur $\overrightarrow{n}$:

\begin{equation*}
\overrightarrow{T}(M,\overrightarrow{n}) = \underline{\underline{\sigma}}(M)\overrightarrow{n}
\end{equation*}

Le tenseur $\underline{\underline{\sigma}}(M)$ est appelé tenseur des contraintes. Il est symétrique et ne dépend que de la position du point $M$.

Hypothèse des petites perturbations

On dit qu'un solide respecte l'hypothèse des petites perturbations si :

  • Les déplacements et rotations sont suffisamment petits pour confondre la configuration déformée avec la configuration non déformée
  • Les déformations sont inférieures à $0,2\%$

Dans ce cas on peut définir un tenseur des petites déformations au point $M$ (de vecteur déplacement $\overrightarrow{u}(M)$) du solide par :

\begin{equation*}
\underline{\underline{\epsilon}}(M) = \dfrac{1}{2}\left( \underline{\underline{Grad}}(\overrightarrow{u}(M)) + {}^{T}\underline{\underline{Grad}}(\overrightarrow{u}(M)) \right)
\end{equation*}

Loi de Hooke

Si le matériau constituant le solide étudié est linéaire, homogène, isotrope et si l'on se place dans l'hypothèse des petites perturbations il est possible de lier contrainte et déformation par les 2 formules suivantes:

\begin{equation*}
\underline{\underline{\sigma}}(M) = \dfrac{E}{1+\nu}\underline{\underline{\epsilon}}(M) + \dfrac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}Tr\left( \underline{\underline{\epsilon}}(M) \right)\underline{\underline{I}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\underline{\underline{\epsilon}}(M) = \dfrac{1+\nu}{E}\underline{\underline{\sigma}}(M) - \dfrac{\nu }{E}Tr\left( \underline{\underline{\sigma}}(M) \right)\underline{\underline{I}}
\end{equation*}

Avec $\nu$ le coefficient de Poisson et $E$ le module de Young du matériau, supposés constants.