Modèle de la poutre
Une poutre est un solide déformable ayant les propriétés suivantes:
- Une dimension est très grande devant les 2 autres.
- Le rayon de courbure de la ligne moyenne de la courbe est grand.
- La section droite varie de manière continue le long de la ligne moyenne.
De plus pour les calculs on suppose que l'hypothèse des petites perturbations est respectée et que le matériau de la poutre est linéaire, homogène, isotrope.
Les formules utilisées seront valables loin des points d'application des forces et des liaisons pour respecter le principe de Saint-Venant.
Pour la suite l'hypothèse de Navier-Bernoulli sera appliquée: lors de la déformation de la poutre, les sections normales à la ligne moyenne restent planes.
Torseur de cohésion
On considère une poutre à laquelle on associe un repère fixe R=(O,→x0,→y0,→z0). On considère une coupe droite (E) de la poutre située à l'abscisse x, Sx est la surface de la section et Gx son centre de gravité. On note (Eg) et (Ed) les parties à gauche et à droite de cette coupe et on associe à Gx le repère mobile (O,→x,→y,→z) dont →x reste tangent à la ligne médiane de la poutre :
Avec cette convention de repères et en isolant (Eg) on peut définir le torseur de cohésion exprimé au point Gx comme les actions de (Ed) sur (Eg):
{Tcohesion}Gx={TEd→Eg}Gx
Poutre en traction compression
On reprend la poutre précédente (de module de Young E) qui subit à l'extrémité droite un effort →N=N→x0. Cet effort peut être lié au déplacement longitudinal u(x) d'un point de la ligne médiane par la relation:
dudx=NESx
Par convention N>0 si la poutre est sollicitée en traction, N<0 si la poutre est en compression.\\
0
Poutre en flexion
On suppose cette fois que la poutre précédente subit un effort F→y0 à son extrémité droite, cela crée alors un moment de flexion →Mfz(x) autour de l'axe →z0. On note v(x) le déplacement vertical d'un point de la poutre d'abscisse x, α(x) l'angle que fait la poutre en un point x avec le vecteur →x0 et Iz le moment quadratique de la poutre autour de l'axe →z0. L'équation différentielle vérifiée est la suivante:
dαdx=Mfz(x)EIz
Or l'hypothèse d'Euler-Bernoulli peut se traduire par α(x)=dvdx donc:
d2vdx2=Mfz(x)EIz