Vibrations à 1 degré de liberté

Quelques définitions

En mécanique, la vibration est le phénomène de déplacement d'un solide autour de sa position d'équilibre. Lorsque le déplacement est provoqué par une excitation, on parle d'oscillations forcées. Lorsqu'une impulsion très courte provoque le mouvement, on parle de régime libre.
De manière générale, il existe un amortissement qui tend à stabiliser le système en régime libre sur sa position d'équilibre.

Equation du mouvement pour un système à 1 DDL

De manière générale, pour un système à 1 degré de liberté, le PFD donne l'équation différentielle suivante:

$\ddot{x} + 2\xi \omega_{0} \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = f(t)$

$\xi \geq 0$ est le facteur d'amortissement sans unité, $\omega_{0}$ est la pulsation propre du système en $rad.s^{-1}$ et $f(t)$ est le facteur d'excitation.

Lorsque le régime est libre $f(t)=0$, si de plus il est non amorti alors $\xi = 0$, dans ce cas l'équation du mouvement s'écrit $\ddot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ et les solutions s'écrivent sous la forme $x(t)=A\cos(\omega_{0}t) + B\sin(\omega_{0}t)$. Le déplacement est sinusoïdal périodique de période $T=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}$.

Lorsque le régime est libre et amorti l'équation du mouvement s'écrit $\ddot{x} + 2\xi \omega_{0} \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$. On note $r^{2} + 2\xi \omega_{0} r + \omega_{0}^{2} = 0$ le polynôme caractéristique associé à l'équation du mouvement. Plusieurs solutions sont possibles d'après le calcul du discriminant du polynôme caractéristique $\Delta = 4\omega_{0}^{2}(\xi^{2}-1)$.

Les trois régimes possibles en oscillations libres amorties

$\textbf{$\Delta > 0$:}$

Autrement dit si $\xi > 1$, l'équation caractéristique admet 2 racines réelles distinctes notées $r_{1}$ et $r_{2}$. Le régime est dit apériodique et la solution de l'équation du mouvement prend la forme $x(t)=Ae^{r_{1}t}+Be^{r_{2}t}$. Il n'y a pas d'oscillations et les conditions initiales en position et vitesse permettent de déterminer les coefficients $A$ et $B$.

$\textbf{$\Delta = 0$:}$

Autrement dit si $\xi = 1$, l'équation caractéristique admet une racine réelle double notée $r_{0}$. Le régime est dit critique et la solution de l'équation différentielle prend la forme $x(t)=(A+Bt)e^{r_{0}t}$. C'est le régime qui permet d'atteindre le plus vite la position d'équilibre.

$\textbf{$\Delta < 0$:}$

Autrement dit si $\xi < 1$, l'équation caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées notées $r_{1}=\rho+j\Omega$ et $r_{1}=\rho-j\Omega$ (avec $j^{2}=-1$). Le régime est dit pseudo-périodique et la solution de l'équation différentielle prend la forme $x(t)=e^{\rho t}(A\cos(\Omega t) + B\sin(\Omega t))$. On peut observer des oscillations qui s'atténuent avec le temps.

Cas des oscillations forcées

Cette fois on considère l'équation différentielle $\ddot{x} + 2\xi \omega_{0} \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = f_{0}\cos(\omega t)$ dont on suppose connaître la solution de l'équation homgène $\ddot{x} + 2\xi \omega_{0} \dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ notée $x_{0}(t)$.

Pour obtenir la solution particulière on cherche une solution particulière de la forme $x_{1}(t)=A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$. En la réinjectant dans l'équation différentielle on trouve les coefficients $A$ et $B$ qui conviennent. Finalement la solution de l'équation avec oscillations forcées s'écrit sous la forme $x(t) = x_{0}(t) + x_{1}(t)$. Néanmoins la solution particulière prend rapidement le pas sur la solution homogène qui tend vers 0, donc après un certain temps seul le terme $x_{1}(t)$ reste et en régime établi $x(t) = x_{1}(t)$.