Formule de Taylor :
Soit $f$ une fonction réelle définie sur un voisinage de $a$ et dérivable $n$ fois en $a$. Alors, pour tout $t$ dans ce voisinage,
$f(t)=P_n(t)+(t-a)^n\alpha(t)$
Avec $P_n(t)=f(a)+f’(a)(t-a)+f’’(a)\displaystyle\frac{(t-a)^2}{2 !}+$ $\cdots$ $\displaystyle +f^{(n)}(a)\frac{(t-a)^n}{n !}$ et $\displaystyle\lim_{t\to a}\alpha(t)=0$.
$P_n$ est appelé développement limité à l’ordre $n$ de $f$ en $a$.
$(t-a)^n\alpha(t)$, est appelé reste, souvent noté $o((t-a)^n)$.
Propriétés : Soient deux fonctions $f$ et $g$ dont les développements limités à l’ordre $n$ en 0 sont respectivement $P_n$ et $Q_n$.
- Le développement limité de $f+g$ est égal à $P_n+Q_n$.
- Le développement limité de $fg$ s’obtient en calculant le produit $P_nQ_n$ et en ne gardant que les monômes de degré inférieur ou égal à $n$.
Développements limités usuels au voisinage de 0 :
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^2+$ $\ldots$ $\displaystyle +\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !}x^n+\mathrm o(x^n)$
$\mathrm e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^ 3}{3 !}+$ $\ldots$ $\displaystyle +\frac{x^n}{n !}+\mathrm o(x^n)$
$\ln(1-x)=-x-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}- \ldots -\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\sin(x)=x-\displaystyle\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\ldots$
$\cos(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\ldots$
Application à la recherche d’extrema
Soit $f$ une fonction définie et $n$ ($n\geq 2$) fois dérivable sur un intervalle $I$.
Supposons qu’il existe dans $I$ un réel $a$ tel que :
$f’(a)=…=f^{(n-1)}(a)=0$
$f^{(n)}(a)\neq 0$
Alors au voisinage de $a$, $f(x)-f(a)$ a même signe que $ (x-a)^nf^{(n)}(a)$ :
- Si $n$ est pair, $f(x)-f(a)$ a le même signe que $f^{(n)}(a)$
- Si $f^{(n)}(a)\geq 0$, $f$ admet un minimum local en $a$
- Si $f^{(n)}(a)\leq 0$, $f$ admet un maximum local en $a$ - Si $n$ est impair, $(x-a)^n$ change de signe et par conséquent $f$ n’admet pas d’extremum local en $a$.