Anneaux

Méthode 1 : Montrer que $\bf{(A,+,\times)}$, avec $\rm A$ un ensemble et $\bf{+,\times}$ deux lois de composition internes, est un anneau.

• Utiliser la définition d’un anneau :

$\rm (A,+)$ est un groupe abélien de neutre $\rm 0_A$
$\times$ est associative et possède un neutre $\rm 1_A$
$\times$ est distributive sur $+$ : pour tous $\rm a,b,c \in A$, $\rm a(b+c)=ab+ac$ et $\rm (b+c)a=ba+ca$.

• Identifier $\bf A$ comme un produit d’anneaux :

Soient $\rm (A_1,+,\times),\ldots,(A_n,+,\times)$ des anneaux avec pour éléments neutres $\rm 0_{A_1},\ldots,0_{A_n}$ et $\rm 1_{A_1},\ldots,1_{A_n}$, alors $\rm A=A_1 \times \ldots \times A_n$ (muni des lois définies par $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) + (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1+ y_1,\ldots,x_\mathrm n + y_\mathrm n)$ et $(x_1,\ldots,x_\mathrm n) \times (y_1,\ldots,y_\mathrm n)$ $=(x_1\times y_1,\ldots,x_\mathrm n \times y_\mathrm n)$) est un anneau de neutres $\rm 0_A=(0_{A_1},\ldots,0_{A_n})$ et $\rm 1_A=(1_{A_1},\ldots,1_{A_n})$.

• Identifier $\bf A$ comme un anneau connu :

$(\mathbb C,+,\times)$, $(\mathbb R, +,\times)$, $(\mathbb Z, +,\times)$ sont des anneaux commutatifs ($\times$ est commutative) de neutres $0$ et $1$.
$\rm (\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau commutatif de neutres $\bar{0}$ et $\bar{1}$.

• Identifier $\bf A$ comme le sous-anneau d’un anneau :

Soit $\rm B$ un sous-anneau de $\rm (A,+,\times)$ muni des lois $+$ et $\times$ définies par restriction des lois sur $\rm A$.
Alors $\rm B$ est un anneau de mêmes neutres que $\rm A$.

Remarque : $\rm B$, partie de $\rm A$, est un sous-anneau de $\rm A$ si :

• $\rm 1_A \in B$
• Pour tous $x,y \in \rm B$, $xy \in \rm B$
• Pour tous $x,y\in \rm B$, $xy \in \rm B$

Méthode 2 : Faire des calculs dans un anneau.

• Si $\bf a$ et $\bf b$ sont deux éléments commutant $\bf{(ab = ba)}$ d’un anneau $\bf A$ :

Pour tout $\rm n\in \mathbb N$, $\rm (ab)^n=a^nb^n$ et $\rm (a+b)^n=\displaystyle\rm \sum_{k=0}^{n}\Big(\begin{array}{l}\rm n\\ \rm k \end{array}\Big)\rm a^kb^{n-k}$.

• Soit a appartenant à un anneau $\bf{(A, +, \times)}$.

$\rm a$ est inversible s’il existe $\rm b\in A$ tel que $\rm ab=ba=1$.
$\rm b$ est l’unique inverse de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$.

Remarque :

L’ensemble $\rm U(A)$ des éléments inversibles de l’anneau $\rm (A,+,\times)$ est un groupe multiplicatif.

• Dans un anneau $\bf{(A, +, \times)}$ intègre :

Pour tous $\rm a,b\in A$, $\rm ab=0_A \Leftrightarrow a=0_A \quad \text{ou }\quad b=0_A$.

Remarque :

Un anneau $\rm (A,+,\times)$ est intègre si $\rm A$ est non réduit à $\rm \{0_A\}$ et si $\rm A$ ne possède pas de diviseurs de zéros (on dit que $\rm a,b\in A$ sont des diviseurs de zéros si $\rm ab=0_A$ avec $\rm a,b\neq 0_A$).

Remarque :

$(\mathbb Z,+,\times)$ est un anneau intègre.

Méthode 3 : Etudier un morphisme d’anneaux $\bf \varphi$.

Soit $\varphi : \rm A\to A’$ et $\rm (A,+,\times), (A’,+,\times)$ deux anneaux.

• Utiliser la définition d’un morphisme:

$\rm \varphi(1_A)=1_{A’}$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(x + y)=\varphi(x)+\varphi(y)$
Pour tous $x,y \in \rm A$, $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$.

Remarque :

Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme bijectif.

• Identifier une composition de morphismes:

Une composition de morphismes d’anneaux est également un morphisme d’anneaux.

• Noyau de $\bf{\varphi : \ker \varphi =\varphi^{-1}(\{O_{A’}\})}$

$\varphi$ est injective si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{0_A\}$

Attention, $\rm \ker \varphi$ n’est généralement pas un sous-anneau de $\rm A$.

• Image de $\bf{\varphi : Im \varphi =\varphi(A)}$

$\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi= A’$
$\rm Im \varphi$ est un sous-anneau de $\rm A’$.