Arithmétique
Définition :
Soit $\rm a,b\in\mathbb Z$, $\rm a$ est multiple de $\rm b$ s’il existe $\rm k\in\mathbb Z$ tel que $\rm a=kb$. $\rm b$ est appelé diviseur de $\rm a$.
Définition :
Un entier $\rm p\geq 2$ est un nombre premier si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $\rm p$.
Proposition :
Il existe une infinité de nombres premiers.
Théorème :
Soit $\rm a\in\mathbb Z$, $\rm b\in\mathbb N^*$. Il existe un unique couple $\rm (q,r)\in \mathbb Z^2$ tel que $\rm a=bq+r$ avec $\rm 0\leq r < b$.
$\rm q$ est appelé le quotient et $\rm r$ le reste de la division euclidienne de $\rm a$ par $\rm b$.
Définition :
Soit $\rm a,b\in\mathbb Z$ deux entiers (non tous les $2$ nuls). Le plus grand commun diviseur de $\rm a$ et $\rm b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $\rm a$ et $\rm b$. Il est noté $\rm pgcd(a~ ;b)$.
Définition :
Le plus petit multiple commun de $\rm a$ et $\rm b$ est le plus petit entier positif divisible par $\rm a$ et par $\rm b$. Il est noté $\rm ppcm(a~ ;b)$.
Théorème de Bezout :
Pour tous $\rm a$ et $\rm b$ entiers, il existe deux entiers relatifs $\rm s$ et $\rm t$ tels que $\rm as+bt=pgcd(a,b)$.
$\rm s$ et $\rm t$ sont appelés coefficients de Bezout.
Définition :
On dit que deux entiers $\rm a \geq 1$ et $\rm b \geq 1$ sont premiers entre eux si $\rm pgcd(a,b)=1$.
Corollaire :
Soit $\rm a,b$ deux entiers. $\rm a$ et $\rm b$ sont premiers entre eux s’il existe $\rm s,t\in\mathbb Z$ tel que $\rm as+bt=1$.
Proposition :
Si $\rm a,b$ sont des entiers (non tous les deux nuls), alors $\rm pgcd(a,b)\times ppcm(a,b)=|ab|$.
Théorème :
Tout entier $\rm n\geq 2$ peut être écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.
