Arithmétique des Polynômes

Soit $\mathbb K$ un corps commutatif.

Définition : Un polynôme dans $\rm \mathbb K[X]$ est multiple d’un polynôme $\rm Q$ dans $\rm \mathbb K[X]$ s’il existe un polynôme $\rm R$ dans $\rm \mathbb K[X]$ tel que $\rm P=QR$.

On dit que $\rm Q$ est un diviseur de $\rm P$ ou que $\rm Q$ divise $\rm P$ et on note $\rm Q|P$.

Exemple : tout polynôme constant non nul divise tous les polynômes.

Théorème : Division euclidienne

Soit $\rm A$ un polynôme de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm B$ un polynôme non nul de $\rm \mathbb K[X]$.

Il existe un unique couple de polynômes $\rm (Q,R)$ tel que $\rm A=BQ+R$ et $\rm \deg R< \deg B$.

Théorème : Identité de Bezout

Soit $\rm A$ et $\rm B$ deux polynômes de $\rm \mathbb K[X]$.

Il existe un unique polynôme unitaire $\rm D$ de $\rm \mathbb K[X]$ tel que pour tout polynôme $\rm P$ de $\rm \mathbb K[X]$, $\rm P$ divise $\rm A$ et $\rm B$ si et seulement si $\rm P$ divise $\rm D$.

Il existe deux polynômes $\rm U$ et $\rm V$ de $\rm \mathbb K[X]$ tel que $\rm D=AU+BV$.

Le polynôme unitaire $\rm D$ est le plus grand commun diviseur de deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$. Il est noté $\rm pgcd(A,B)$.

Remarque : un polynôme est unitaire si le coefficient du monôme de plus haut degré est égal à $1$.

Définition : Soit $n\geq 1$ un nombre entier.

On dit que $n$ polynômes de $\rm \mathbb K[X]$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) quand leurs seuls diviseurs communs sont des polynômes constants non nuls, c’est-à-dire que leur pgcd est égal à $1$.

Définition : Un polynôme $\rm P$ dans $\rm \mathbb K[X]$ est irréductible s’il est non constant et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme $\rm \lambda P$ avec $\rm \lambda \in \mathbb K^{\star}$.

Exemple : Dans $\rm \mathbb R[X]$, les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ de discriminant négatif.