Autres lois de probabilités continues et approximations

1) Loi exponentielle

La loi exponentielle dépend d’un paramètre $\lambda$, réel strictement positif.

On note $\rm X\sim \mathcal{E}(\lambda)$.

Propriétés :

• La fonction densité $f$ est définie sur $[0~ ;+\infty[$ par : $f(x)=\lambda \exp(-\lambda x)$.
• $\rm E(X)=\displaystyle\frac{1}{\lambda}$
• $\rm P(X\leq t)=1-\exp(-\lambda t)$

2) Loi de Student 

Cette loi dépend d’un paramètre $n$ : le nombre de degrés de liberté.

Sa représentation graphique est une cloche unimodale symétrique.

Quand $n\to+\infty$, la loi de Student tend vers la loi normale centrée réduite (ce qui est en pratique le cas pour $n>30$).

3) Approximations

Inégalité de Markov :

Soit $\rm X$ une variable aléatoire réelle à valeurs positives admettant une espérance.

Alors $\forall a>0$, $\mathrm{P(X}\geq a)\leq \dfrac{\mathrm{E(X)}}{a}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Soit $\rm X$ une variable aléatoire admettant une espérance et une variance.

Alors $\forall \epsilon >0$, $\rm P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \dfrac{V(X)}{\epsilon^2}$