go-back Retour

Calcul intégral

📝 Mini-cours GRATUIT

Définition et propriétés

Définition

On considère une fonction f continue sur l’intervalle [a ;b] (a<b) et on note F une de ses primitives. 
On a : 

baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)F(a).

Exemple : 

La fonction f définie par f(x)=2x2 est continue sur l’intervalle [0 ;2] et une de ses primitives sur cet intervalle est la fonction F définie par F(x)=2x33.
20f(x)dx=[2x33]20 =163.

Propriétés

Pour f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ;b] (a<c<b) et un réel k :

ba(f(x)+g(x))dx =baf(x)dx+bag(x)dx.

bakf(x)dx =kbaf(x)dx.
baf(x)dx =caf(x)dx+bcf(x)dx.

f(x)>0 sur [a ; b]baf(x)dx>0

f(x)>g(x) sur [a ; b]baf(x)dx>bag(x)dx.

Intégration par parties

Soit f et g deux fonctions continues et dérivables sur [a ;b] (a<b). On suppose que les fonctions dérivées de f et g sont continues sur [a ;b].

On a la formule d'intégration par parties :

baf(x)g(x)dx =[f(x)×g(x)]babag(x)f(x)dx.

Aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction positive et continue sur l’intervalle $[a~ ; b]$.
L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$ (en unités d’aire).

Exemple : 

Pour la fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ qui est continue et positive sur l’intervalle $[0~; 2]$, l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est :

$\displaystyle \mathrm A = \int_0^2 f(x) \mathrm dx = \frac{16}{3} \rm ~u.a.$

Valeur moyenne

Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l’intervalle $[a~ ; b]$ ($a < b$). 
On a :

$\displaystyle \mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$.

Exemple : 

La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ sur l’intervalle $[0~ ; 2]$ est :

$\displaystyle \mu = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(x) \mathrm dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$.

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !