Voici les 3 étapes pour faire un changement d'indice dans une somme :
- On définit le nouvel indice en fonction de l'ancien.
- On détermine entre quelle valeur et quelle autre valeur varie le nouvel indice.
- On réécrit la somme en fonction uniquement du nouvel indice.
Exemple :
Soit à calculer la somme $\displaystyle{\mathrm S_n = \sum_{k=7}^{n}k}$.
On sait, d'après le cours, que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$. On ne peut pas ici utiliser tout de suite cette formule car la somme $\displaystyle{\mathrm S_n}$ ne commence pas à 1, mais à 7.
On va donc faire un changement d'indice de telle sorte que l'indice débute à 1 et non à 7.
- On pose $\displaystyle{i = k-6}$ ($i$ est le nouvel indice et $k$ est l'ancien).
- On a $\displaystyle{7 \le k \le n}$ donc $\displaystyle{7-6 \le k-6 \le n-6}$ c'est-à-dire $\displaystyle{1 \le i \le n-6}$.
- On réécrit la somme en fonction du nouvel indice. Puisque $\displaystyle{i = k-6}$ on a donc $\displaystyle{k=i+6}$.
Donc $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}{k} = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6)}$.
Attention, on ne peut toujours pas utiliser la formule du cours $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$ car, à l'intérieur de la somme, on a $i+6$ et non pas $i$.
On a $\displaystyle{S_n = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6) = \sum_{i=1}^{n-6}i + \sum_{i=1}^{n-6}6}$.
La première somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}i = \frac{(n-6)(n-5)}{2}}$. Là, on peut utiliser la formule du cours. On a remplacé $\displaystyle{p}$ par $\displaystyle{n-6}$.
La deuxième somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}6 = 6 + 6 + \ldots +6}$ où le nombre $\displaystyle{6}$ apparait $(n-6)$ fois.
(Remarque : il faut savoir que dans une somme du type $\displaystyle{\sum_{k=p}^{q}{a_k}}$ il y a $\displaystyle{q-p+1}$ termes.)
On a donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}{6} = (n-6)\times 6}$.
Donc au final $\displaystyle{\mathrm S_n = \frac{(n-6)(n-5)}{2} + 6(n-6)}$.
On factorise par $\displaystyle{n-6}$ : $\displaystyle\mathrm S_n = (n-6)\left(\frac{(n-5)}{2} + 6\right)$ $\displaystyle = (n-6)\frac{n+7}{2}$ donc $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n+7)}{2}}$.
Test de cohérence : on va vérifier que la formule qu'on a trouvée est cohérente avec $\displaystyle{n=7}$.
Si on reprend la définition de $\displaystyle{\mathrm S_7}$, on a $\displaystyle{\mathrm S_7 = \sum_{k=7}^{7}k = 7}$.
Si on prend la formule qu'on a trouvée, on a $\displaystyle{\frac{(7-6)(7+7)}{2} = 7}$.
C'est donc cohérent.
