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Continuité des fonctions

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Continuité d’une fonction

On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I de R si elle est définie sur I et si on peut tracer sa courbe représentative d’un trait continu, sans lever le crayon.

En utilisant les limites, pour aI :

f continue en a est équivalent à limxaf(x)=f(a).

Exemples :

  • Les fonctions usuelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
  • Les fonctions affines sont continues sur R.
  • La fonction carré est continue sur R.
  • La fonction inverse est continue sur ] ;0[ et sur ]0 ;+[.
  • La fonction racine carrée est continue sur [0 ;+[.
  • Les fonctions polynômes sont continues sur R.
  • Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

Théorèmes des valeurs intermédiaires

Théorème 1 dit « des valeurs intermédiaires »

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~ ; b]$ toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes au moins une fois.

Théorème 2 dit « de la valeur intermédiaire »

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a~ ; b]$ quel que soit le nombre $c$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique nombre $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = c$.

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