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Dérivation

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Nombre dérivé

Nombre dérivé  

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$.

On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f '(x_0)$. 

On a donc $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ $= f'(x_0)$.

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f dérivable en $x_0$ on calcule $f '(x_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation :

$y = f’(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Tableau de dérivées

Fonction

Fonction dérivée

Conditions, intervalle
$\color{black}{x \mapsto c}$
($\color{black}{c}$ constante)
$\color{black}{x \mapsto 0}$
$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto ax + b}$
($\color{black}{a}$, $\color{black}{b}$ constantes)
$\color{black}{x \mapsto a}$
$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto x^n}$
$\color{black}{x \mapsto nx^{n-1}}$
$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^n}}$
$\color{black}{\displaystyle x\mapsto - \frac{n}{x^{n+1}}}$
$\color{black}{n \in \mathbb N^*}$, $\color{black}{x \in \mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \cos (x)}$
$\color{black}{x \mapsto -\sin(x)}$
$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \cos}$ $\color{black}{(ax + b)}$
$\color{black}{x \mapsto -a \sin}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$
$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$,
$\color{black}{(a~; b~; c)\in \mathbb R^3}$
$\color{black}{x \mapsto \sin (x)}$
$\color{black}{x \mapsto \cos(x)}$
$\color{black}{\mathbb R}$
$\color{black}{x \mapsto \sin}$ $\color{black}{(ax + b)}$
$\color{black}{x \mapsto a \cos}$ $\color{black}{(ax + b) + c}$
$\color{black}{\mathrm I = \mathbb R}$,
$\color{black}{(a~; b~; c)\in \mathbb R^3}$
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$
$\mathbb R$
$\color{black}{x \mapsto \ln (x)}$
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}}$
$\mathbb R^*_+$
$\color{black}{\mathrm e^u}$
$\color{black}{u' \mathrm e^u}$
  
$\color{black}{(u^n)}$
$\color{black}{nu'u^{n-1}}$
$\color{black}{n \in \mathbb N}$ ou si $\color{black}{n \in \mathbb Z^-}$, $\color{black}{u(x) \neq 0}$
$\color{black}{\ln(u)}$
$\color{black}{\displaystyle \frac{u'}{u}}$
$\color{black}{\rm I}$ où $\color{black}{u}$ est strictement positive
$\color{black}{x \mapsto (g \circ f)(x)}$ $\color{black}{= g(f(x))}$ 
$\color{black}{x \mapsto(g \circ f)'(x) }$ $\color{black}{= (g' \circ f)(x)\times f'(x)}$ $\color{black}{= g'(f(x))\times f'(x)}$
$\color{black}{f}$ dérivable sur $\color{black}{\rm I}$, $\color{black}{f(\rm I) \subset J}$ intervalle, $\color{black}{g}$ dérivable sur $\color{black}{\rm J}$

Dérivée et opérations

Dérivée d’une somme 

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a : $(u + v) ' = u' + v'$.

Dérivée d’un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée d’un produit 

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$(u \times v) ' = u' \times v + u \times v'$.

Dérivée d’un quotient

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $\rm I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :

$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$. 

En particulier, $\displaystyle\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$. 

Dérivée et variations

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f ‘(x) > 0$ pour tout $x\in\mathrm I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\rm I$.

Si $f ‘(x)$ < 0 pour tout $x\in\mathrm I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\mathrm I$.

Extremum d’une fonction

Soit $a\in \mathrm I$ qui est distinct des extrémités de $\mathrm I$.

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f’(a) = 0$ et $f’$ change de signe en $a$.

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