Développements en séries entières

Soit $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$, voisinage de $0$.

Soit $\rm r\in\mathbb R^{+*}\cup \{+\infty\}$ tel que $\rm ]-r ~;r[\subset I$.

Méthode 1 : Étudier des fonctions développables en séries entières

Définition :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

$f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$ s’il existe une série entière $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ telle que pour tout $x\in \rm ]-r~ ;r[$, $\displaystyle\rm \sum a_n \mathcal x^n$ converge et $f(x)=\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$.

Remarque :

Soit $\rm R$ le rayon de convergence de $\displaystyle \sum \mathrm{a_n} x^{\rm n}$. On a toujours $\rm R\geq r$.

Définition :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

$f$ est développable en série entière en $0$ s’il existe $\rm r>0$ telle que $f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Théorème :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$.

Si $f$ est développable en série entière sur $\rm ]-r ~;r[$ avec $f(x)= \displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$ pour tout $x\in \rm ]-r~ ;r[$, 

Alors $f$ est de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-r~ ;r[$ et pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\displaystyle \rm a_n=\frac{\mathcal f^{(n)}(0)}{n !}$.

La série entière $\displaystyle \rm \sum \frac{\mathcal f^{(n)}(0)}{n !} x^n$ est appelée série de Taylor en $0$ de $f$.

Remarque :

Si $f$ n’est pas de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-r~ ;r[$, $f$ ne peut pas être développée en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Méthode 2 : Faire des opérations sur des fonctions développables en séries entières

Théorème :

Soient $f : \rm I\to \mathbb C$ et $g : \rm I\to \mathbb C$ deux fonctions développables en séries entières sur $\rm ]-r~ ;r[$.

• Pour tout $\lambda \in\mathbb C$, $\lambda f$, $f+g$ et $fg$ sont développables en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.
• $\bar{f}$, $\rm Re(\mathcal f)$, et $\rm Im(\mathcal f)$ sont développables en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.
• Soit $f$ fonction paire (respectivement impaire) développable en série entière : pour tout $\rm n\in \mathbb N$, $\rm a_{2n+1}=0$ (respectivement $\rm a_{2n}=0$).

Théorème sur les dérivées :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$ développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$.

Les dérivées successives de $f$ sont également développables en série entière.

Théorème d’intégration :

Soit $f : \rm I\to \mathbb C$ développable en série entière sur $\rm ]-r~ ;r[$ avec $f(x)=\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^n$.

Les primitives $\rm F$ de $f$ sont également développables en série entière :

$\displaystyle\rm F(\mathcal x)=F(0)+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}\mathcal x^{n+1}$.

Méthode 3 : Utiliser des développements en série entière usuels

• $\exp(z)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\mathcal z^n}{n !}$ sur $\mathbb C$
• $\ln(1+z)=\displaystyle\rm \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{\mathcal z^n}{n}=\mathcal z-\frac{\mathcal z^2}{2}+\frac{\mathcal z^3}{3}\ldots$ pour tout $z$ tel que $|z|< 1$.
• $(1+x)^{\alpha}=1+ \displaystyle\rm \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n !}\mathcal x^n$ sur $]-1 ~;1[$ pour tout $\alpha \in \mathbb R$.
• $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\rm \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal x^n$ sur $]-1~ ;1[$
• $\arctan(x)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal x^{2n+1}}{2n+1}$ sur $]-1~ ;1[$
• $\cos(z)=\rm \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal z^{2n}}{(2n) !}$ sur $\mathbb C$
• $\sin(z)= \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{\mathcal z^{2n+1}}{(2n+1) !}$ sur $\mathbb C$