Un développement limité d'une fonction f est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de f par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :
Définition :
Soit V un voisinage de 0 (autrement dit un intervalle du type ]−α,α[ avec α>0).
Soit f une fonction définie sur D=V ou D=V∖{0}.
Soit n un entier naturel.
f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (en abrégé DLn(0)) s'il existe une fonction polynomiale x↦a0+a1x+…+anxn de degré inférieur ou égal à n et une fonction ϵ définie sur D telles que
- lim
- , .
Remarques :
- La fonction n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.
- Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
- La quantité (qui tend vers lorsque tend vers ) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond et son approximation polynomiale .
- L'erreur d'approximation est négligeable devant car ce que l'on écrit par
. Ainsi, le de s'écrit également .