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Ensemble de nombres

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Ensemble de nombres

  • L’ensemble des nombres entiers naturels, noté N, est composé des nombres 0,1,2,3,4,5
  • L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté Z, est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés : 4,3,2,1,0,1,2,3,4
  • L’ensemble des nombres décimaux, noté D, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme a10n (aZ,nN) :
    Il s’agit des nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule. 
  • L’ensemble des nombres rationnels, noté Q, est l’ensemble des nombres fractionnaires, c'est-à-dire pouvant s’écrire sous la forme pq (pZ,qZ)
  • L’ensemble des nombres réels, noté R, est l’ensemble des nombres pouvant être représentés sur une droite graduée.

On a : NZDQR.

Remarque :
Il existe des nombres qui ne sont pas des nombres rationnels : 2, π, 3, etc.
On les appelle « nombres irrationnels ».

Valeur absolue

Définition

La valeur absolue d’un nombre réel $x$, notée $|x|$, est égale à $x$ si $x\geq 0$ et $-x$ si $x < 0$.

Exemples : $|6| = 6$ ; $|-4| = 4$ ; $|-9| = 9$.

Intervalle et valeur absolue

Soit $a$ et $r > 0$ deux nombres réels.
$|x - a| \leq r \Leftrightarrow x\in~[a - r~;~a + r]$.
$|x - a | < r \Leftrightarrow x\in~]a - r~;~a + r[$.

Exemple : $|x - 7| \leq 4 \Leftrightarrow x\in~[3~;~11]$.

Distance et valeur absolue

Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $x$ et $0$ est $|x|$.
Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $x$ et $y$ est $|y - x|$.

Exemples

  • Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $-4$ et $0$ est $|-4| = 4$. 
  • Sur un axe gradué, la distance entre les points d’abscisses $-4$ et $6$ est $|-4 - 6| = |-10| = 10$ ou $|6 - (-4)| = |10| = 10$.

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