On veut résoudre α(x)y′+β(x)y=γ(x).
- étape : on met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant est égal à . On détermine le ou les intervalles de résolution.
Sur un intervalle sur lequel la fonction ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par :
(avec et ).
- étape : on résout , l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution . Les solutions de sont données par avec une constante réelle.
- étape : on cherche une solution particulière de . Trois possibilités :
- La solution particulière est évidente.
- On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en alors le principe de superposition des solutions nous dit que si est une solution de l'équation et est une solution de l'équation alors la fonction est une solution de l'équation .
- On utilise la méthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution particulière de sous la forme avec une solution de . On a alors .
- étape : on écrit l'ensemble des solutions de . La théorie nous dit que les solutions de s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de et une solution particulière de .