On veut résoudre α(x)y′+β(x)y=γ(x).
- 1ère étape : on met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant y′ est égal à 1. On détermine le ou les intervalles de résolution.
Sur un intervalle sur lequel la fonction x↦α(x) ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par α(x) :
(E):y′+a(x)y=b(x) (avec a(x)=β(x)α(x) et b(x)=γ(x)α(x)).
- 2ème étape : on résout (E0):y′+a(x)y=0, l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution I. Les solutions de (E0) sont données par x∈I↦λe−∫a(x)dx avec λ une constante réelle.
- 3ème étape : on cherche une solution particulière de (E). Trois possibilités :
- La solution particulière est évidente.
- On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en λ1b1(x)+λ2b2(x) alors le principe de superposition des solutions nous dit que si y1 est une solution de l'équation (E1):y′+a(x)y=b1(x) et y2 est une solution de l'équation (E2):y′+a(x)y=b2(x) alors la fonction x↦λ1y1(x)+λ2y2(x) est une solution de l'équation (E).
- On utilise la méthode de variation de la constante qui consiste à chercher une solution particulière de (E) sous la forme y(x)=μ(x)y0(x) avec y0(x) une solution de (E0). On a alors μ=∫b(x)y0(x)dx.
- 4ème étape : on écrit l'ensemble des solutions de (E). La théorie nous dit que les solutions de (E) s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de (E0) et une solution particulière de (E).