Soit f(x)=ax2+bx+c avec a≠0.
Δ=b2−4ac
Si Δ<0 l'équation ax2+bx+c=0 n'a pas de solution réelle.
Si Δ=0 l'équation ax2+bx+c=0 a une solution double x0=−b2a.
Si Δ>0 l'équation ax2+bx+c=0 a deux solutions distinctes x1=−b−√Δ2a et x2=−b+√Δ2a.
Exemples :
−2x2+3x−7=0. Δ=9−56=−47. Δ<0 et S=∅.
14x2−45x+1625=0. Δ=1625−4×14×1625=0.
x0=4524 =45×21 =85. S=85.
−2x2+3x+5=0. Δ=9+40=49=72.
x1=−3−7−4=104=52 et x2=−3+7−4=−1. S={−1;52}.
Remarque :
Si Δ>0 l'équation ax2+bx+c=0 (a≠0) admet 2 racines distinctes.
En notant S=x1+x2 leur somme et P=x1×x2 leur produit, on a :
S=−ba et P=ca.
Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.
Équations et fonctions polynômes du second degré
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Inéquation du second degré
Résoudre une inéquation du second degré revient à rechercher le signe d'un trinôme.
Soit $f (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4 ac$.
Premier cas : $\Delta < 0$
Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$. $f$ ne s'annule jamais.
Deuxième cas : $\Delta = 0$
Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$ différent de $\displaystyle -\frac{b}{2a}$.
$f$ s'annule en $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.
Troisième cas : $\Delta > 0$
$f(x)$ a deux racines réelles distinctes. $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. $x_1 < x_2$.
Pour $x \in\: ]-\infty ; x_1[ \:\cup\: ]x_2 ; +\infty[$, $f(x)$ est du signe de $a$ (à l'extérieur des racines).
Pour $x \in\:] x_1 ; x_2[$, $f(x)$ est du signe de $-a$ (entre les racines).
Pour $x = x_1$ et $x = x_2$, $f(x)$ s'annule.
Exemple : $-2x^2+ 3x + 1 \leq - 4 \Leftrightarrow -2x^2 + 3x + 5 \leq 0$.
On pose $f(x) = - 2x^2 + 3x + 5$ et on étudie son signe.
$\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$. $\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$.
$a = - 2$ donc pour tout $x \in\: ]-\infty ; -1[ \cup ]\frac{5}{2} ; +\infty[$, $f(x)$ est négatif.
Pour tout $\displaystyle x \in\:]-1 ; \frac{5}{2}[$, $f(x)$ est positif.
Pour $\displaystyle x = \frac{5}{2}$ ou $x = -1$, $f(x)$ s'annule.
D'après ce que l'on a fait précédemment $f(x)$ est négatif ou nul sur $\displaystyle ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.
Donc $\displaystyle S = ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.