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Soit f(x)=ax2+bx+c avec a≠0 Δ=b2−4ac.
Si Δ=0 l'équation ax2+bx+c=0 a une solution double x0=−b2a.
Si Δ>0 l'équation ax2+bx+c=0 a deux solutions distinctes réelles x1=−b−√Δ2a et x2=−b+√Δ2a
Si Δ<0, l’équation ax2+bx+c=0 admet deux solutions complexes conjuguées x1=−b−i√|Δ|2a et x2=−b+i√|Δ|2a.
Exemple : P(x)=x2−x+1.
Discriminant : Δ=b2−4ac=1−4=−3<0 donc il y a deux racines complexes conjuguées: x1=1−i√Δ2×1=1−i√32 et x2=1+i√Δ2×1=1+i√32.
Une équation polynomiale est une équation de la forme $P=0$ où $P$ est un polynôme.
Un polynôme est une fonction $P$ définie par $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$. Chaque terme $a_ix^i$ est un monôme de degré $i$ et de coefficient $a_i$. Le polynôme $P$ est de degré $n$ et on note $deg P=n$ lorsque le monôme de degré $n$ n’est pas nul.
Si $P$ et $Q$ sont des polynômes, $deg P\times Q= deg P + deg Q$ et $deg(P+Q)\leq max(deg P ; deg Q)$.
Exemple : $P(x)=-x^2+x+2$ et $Q(x)=x^2+2x+4$ ($deg P= deg Q=2$).
On calcule $(P+Q)(x)=3x+6$ et on observe que $deg(P+Q)=1$.
Théorème : $z^n-a^n=(z-a)(z^{n-1}+z^{n-2}a+…+a^{n-1})$.
Le polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, il n’a pas de degré et il est nul pour n’importe quelle valeur de $x$.
La racine $x_0$ d’un polynôme $P$ est un nombre tel que $P(x_0)=0$.
Exemple : $x_0=\displaystyle\frac{1}{3}$ est la racine du polynôme $P(x)=3x-1$.
Théorème fondamental : Si $x_0$ est une racine du polynôme $P$ alors ce polynôme est factorisable par $(x-x_0)$, c’est-à-dire : $P(x)=(x-x_0)\times Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré égal à celui de $P$ moins 1.
Exemple : $P(x)=3x^2-3x-6$, un polynôme du second degré.
Discriminant : $\Delta=b^2-4ac=81=9^2$ donc il y a deux racines réelles: $x_1=\displaystyle\frac{3-\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=-1$ et $x_2=\displaystyle\frac{3+\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=2$ donc $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a$ constante. Ici $P(x)=3(x+1)(x-2)$.
Théorème : Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
