Espaces euclidiens

Définition : Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb R$, muni d’un produit scalaire.

Soit $\rm E$ un espace euclidien.

Définition :

• Une base orthogonale de $\rm E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
• Une base orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.

Théorème :

Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$ et soit $x\in \rm E$.

• $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)e_k$
• $\|x\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n (x|\mathrm e_k)^2$

Le réel $(x|\mathrm e_k)$ est la coordonnée de $x$ par rapport à $\mathrm e_k$ dans la base $(\mathrm e_1,\ldots,\mathrm e_n)$.

Théorème :

Soit $(\mathrm e_i)_{i=1\ldots n}$ une base orthonormée de $\rm E$. Si $x=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k} \mathrm e_k$ et $y=\displaystyle\sum_{k=1}^n y_{k} \mathrm e_k$, le produit scalaire se calcule avec la formule :

$(x|y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{\rm k} y_{k}$

Théorème :
Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$.
$\mathrm{F^{\bot}}=\{x\in \mathrm E/\text{pour tout } y \in \mathrm F, (y|x)=0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $\mathrm{F}$:

• $\mathrm{F+F^{\bot}=E}$
• $\mathrm{F\cap F^{\bot}=\{0_E\}}$
• Pour tout $(x, y)\in \mathrm F\times \mathrm F^{\bot}, (x|y)=0$
• $\rm \dim (F^{\bot})=\dim(E)-\dim(F)$