Familles sommables

Méthode 1 : Montrer qu’un ensemble est dénombrable

• Utiliser la définition :

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec $\mathrm{\mathbb N}$.

Théorème :

Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de $\mathbb N$.

• Utiliser des opérations :

Théorème :

1. Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
2. Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

• Identifier des ensembles dénombrables connus :

Les ensembles $\mathbb N^2$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$ sont dénombrables.

Méthode 2 : Étudier des familles à termes positifs

Définition :

Soit $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de réels positifs et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est dite sommable si, pour tout $\mathrm{F}$ partie finie de $\mathrm{I}$, l’ensemble des sommes $\displaystyle\sum_{i\in \rm F}u_{i}$ est majoré.
Dans ce cas, $\displaystyle\sum_{i\in \rm I}u_{i} = \sup_{\mathrm F \text{ finie } \subset~ \mathrm I}\sum_{i\in \rm F}u_{i}$, sinon $\displaystyle\sum_{i\in \mathrm I}u_{i}=+\infty$.

Théorème de sommation par paquets :

Soient $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de réels positifs et $\displaystyle (\mathrm I_n)_{n\in \mathbb N}$ partition de $\mathrm{I}$ (pour tous $n\neq m$, $\displaystyle\mathrm I_n \cap\mathrm I_m =\emptyset$ et $\displaystyle\displaystyle \cup_{n\in\mathbb N}\mathrm I_n=\rm I)$.

Il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est sommable.
2. Chaque famille $(u_{i})_{i\in \rm \rm I_n}$ est sommable.

Et la série $\displaystyle\sum \left(\sum_{i\in \mathrm I_n}u_i\right)$ converge.
Dans ce cas $\displaystyle \sum_{i\in \rm I}u_{i}$ $\displaystyle= \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{i\in \mathrm I_n}u_{i}\right)$.

Méthode 3 : Étudier des familles complexes

Définition :

Soit $(u_{i})_{i\in \rm I}$ famille de nombres réels ou complexes et $\mathrm{I}$ dénombrable.
La famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est dite sommable, si la famille $(|u_{i}|)_{i\in \rm I}$ l’est.

Théorème :

S’il existe une famille de réels positifs $(v_{i})_{i\in \rm I}$ sommable vérifiant pour tout $i\in \rm I$, $|u_i|\leq v_{i}$, alors la famille $(u_{i})_{i\in \rm I}$ est sommable.

Théorème :

Si $\mathrm{I=\mathbb N}$, il y a équivalence entre :

1. La famille $(u_{i})_{n\in \mathbb N}$ est sommable
2. $\displaystyle\sum u_{n}$ converge absolument.

Méthode 4 : Permuter des sommes

Théorème :

Soit $(u_{m,n}){_{(m,n)\in\mathbb N^2}}$ une famille de réels ou complexes. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

1. La famille $(u_{m,n}){_{(m,n)\in\mathbb N^2}}$ est sommable.
2. Pour tout $n\in\mathbb N$, la série $\displaystyle \sum_{m} |u_{m,n}|$ converge et la série $\displaystyle \sum_{n} \sum_{m=0}^{+\infty}$ $\displaystyle|u_{{m,n}}|$ converge.

Dans ce cas, $\displaystyle \sum_{(m,n)\in\mathbb N^2}u_{m,n}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sum_{m=0}^{+\infty}u_{m,n}\right)$ $\displaystyle = \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_{m,n}\right).$
Il s’agit de la formule de Fubini.