Définition
La fonction logarithme népérien définie sur ]0 ;+∞[ est la fonction x↦ln(x) où le nombre réel ln(x) est l’unique solution de l’équation ey=x d’inconnue y.
Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Pour tout x∈]0 ;+∞[, ln′(x)=1x>0 donc la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
ln(1)=0 et lnx<0 pour x∈]0 ;1[ et lnx> 0 pour x∈]1 ;+∞[ car la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Propriétés
Pour tous les réels a et b strictement positifs :
ln(a×b)=ln(a)+ln(b) ;
ln(1b)=−ln(b) ;
ln(ab)=ln(a)−ln(b) ;
ln(an)=nln(a) (n entier naturel)
12ln(a)=ln(√a).
Dérivée de ln(u)
Pour une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, ln(u) est dérivable sur I et :
(ln(u))′=u′u sur cet intervalle.