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Fonction logarithme 3 — Analytique

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Définition et propriétés

Définition

La fonction logarithme népérien définie sur ]0 ;+[ est la fonction xln(x) où le nombre réel ln(x) est l’unique solution de l’équation ey=x d’inconnue y.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[
Pour tout x]0 ;+[, ln(x)=1x>0 donc la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+[.

ln(1)=0 et lnx<0 pour x]0 ;1[ et lnx> 0 pour x]1 ;+[ car la fonction ln est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+[.

Propriétés

Pour tous les réels a et b strictement positifs :

ln(a×b)=ln(a)+ln(b) ;

ln(1b)=ln(b) ;

ln(ab)=ln(a)ln(b) ;

ln(an)=nln(a) (n entier naturel)

12ln(a)=ln(a).

Dérivée de ln(u)

Pour une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, ln(u) est dérivable sur I et :

(ln(u))=uu sur cet intervalle.

Limites et représentation graphique

Limites 

Limite en $0^+$ :

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$

Limite en $+ \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x = 0$.

Croissances comparées de fonctions

Pour tout entier naturel non nul $n$,

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0^+$
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$

Ainsi, la fonction $x \mapsto x^n$ l'emporte sur la fonction logarithme népérien en $0^+$ et $+\infty$, pour tout entier naturel $n$ non nul.

Représentation graphique

Équations et inéquations

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante, donc pour tous les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ 

$\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ 

$\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b$

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$\displaystyle \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

La fonction $\log$ possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien :

$\log(1) = 0$ ; $\log(10) = 1$
$\log(10^{n}) = n \log (10) = n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La fonction $\log$ est fréquemment utilisée en physique, en chimie et en acoustique.

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