Fonction valeur absolue : définie sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb R^+$, $f(x)=|x|$.
- Si $x$ est positif, $f(x)=x$.
- Si $x$ est négatif, $f(x)=-x$.
Fonction exponentielle : définie sur $\mathbb R$, $\exp’(x)=\exp(x)=\mathrm e^x$
Propriétés :
- Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm e^a\mathrm e^b=\mathrm e^{a+b}$
- Pour tout réel $a$, $\displaystyle \mathrm e^{-a}=\frac{1}{\mathrm e^a}$
- Pour tout réel $a$, $\mathrm e^a>0$
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\exp(h)-1}{h}=1$
- La dérivée de $\mathrm e^{u(x)}$ (si $u$ est dérivable) est égale à $u’(x)\mathrm e^{u(x)}$.
Fonction logarithme népérien : définie sur $]0 ;+\infty[$, $\ln’(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$.
Propriétés :
- Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ et $\ln \left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)=-\ln(b)$
- Pour tout $x\in ]0~ ;+\infty[$, $\mathrm e^{\ln(x)}=x$ et pour tout $x\in\mathbb R$, $\ln(\mathrm e^x)=x$.
- $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$
- La dérivée de $\ln(u(x))$ (si $u$ est strictement positive et dérivable) est égale à $\displaystyle\frac{u’(x)}{u(x)}$.
Croissances comparées : Pour les calculs de limites, en cas de formes indéterminées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance et toute puissance l’emporte sur le logarithme népérien.
