Groupe cyclique

Soit $\rm G$ un groupe.

Définition : Une partie $\rm A$ est génératrice de $\rm G$ (c’est-à-dire $\rm A$ engendre $\rm G$) si le plus petit sous-groupe qui contient $\rm A$ est $\rm G$ tout entier.

Définition : Soit $\rm G$ un groupe muni d’une loi multiplicative d’élément neutre $\rm e$.

Un élément $\rm a$ de $\rm G$ est d’ordre fini s’il existe un entier $\rm k>0$ tel que $\rm a^k=e$.

L’ordre de $\rm a$ est le plus petit entier $\rm m>0$ tel que $\rm a^m=e$.

Définitions :

• $\rm G$ est monogène s’il existe $\rm a\in G$ tel que le sous-groupe engendré par $\rm a$ est égal à $\rm G$ c’est-à-dire $\rm G= \{a^n ; n \in \mathbb Z\}=$ (ou $\rm G=\{ka ; k \in\mathbb Z\}$ en notation additive).

$\rm a$ est le générateur de $\rm G$.

• $\rm G$ est cyclique s’il est monogène et fini.

Remarque : Si $\rm G$ est cyclique d’ordre $\rm n$ : $\rm G=\{e,x,x^2,…,x^{n-1}\}$.

Propriété : Un groupe cyclique est toujours abélien, c’est-à-dire commutatif.

Théorème : Soit $\rm n\geq 2$.

$\rm \mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar{0},\bar{1},\ldots\overline{n-1}\}$ (que l’on peut noter aussi simplement $\rm \{0,1,\ldots,n-1\}$) est l’ensemble des classes d’équivalence.

$\rm \mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe cyclique (où la loi vérifie $\rm \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}$). 

Théorèmes :

• Tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb Z$.
• Tout groupe monogène fini de cardinal $\rm n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$.

Théorème : Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Théorème : Un groupe d’ordre $\rm n$ est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur $\rm d$ de $\rm n$, le groupe possède exactement un sous-groupe d’ordre $\rm d$.

Théorème : Soit $\rm G=$un groupe cyclique d’ordre$\rm n\geq 2$.

Les générateurs de $\rm G$ sont les éléments $\rm a^k$ où $\rm k$ et $\rm n$ sont premiers entre eux.

En particulier, si $\rm G=\mathbb Z n \mathbb Z$, $\rm a$ est un générateur si et seulement si $\rm a$ est premier à $\rm n$. 

Théorème : Soit $\rm G$ un groupe fini d’ordre premier $\rm p$. Alors :

• $\rm G$ est cyclique.
• Les seuls sous-groupes de $\rm G$ sont $\rm \{e\}$ et $\rm G$.
• Tous les éléments de $\rm G$ distincts de $\rm e$ sont des générateurs de $\rm G$.