Soit $\rm G$ un groupe.
Définition : Une partie $\rm A$ est génératrice de $\rm G$ (c’est-à-dire $\rm A$ engendre $\rm G$) si le plus petit sous-groupe qui contient $\rm A$ est $\rm G$ tout entier.
Définition : Soit $\rm G$ un groupe muni d’une loi multiplicative d’élément neutre $\rm e$.
Un élément $\rm a$ de $\rm G$ est d’ordre fini s’il existe un entier $\rm k>0$ tel que $\rm a^k=e$.
L’ordre de $\rm a$ est le plus petit entier $\rm m>0$ tel que $\rm a^m=e$.
Définitions :
- $\rm G$ est monogène s’il existe $\rm a\in G$ tel que le sous-groupe engendré par $\rm a$ est égal à $\rm G$ c’est-à-dire $\rm G= \{a^n ; n \in \mathbb Z\}=$ (ou $\rm G=\{ka ; k \in\mathbb Z\}$ en notation additive).
$\rm a$ est le générateur de $\rm G$.
- $\rm G$ est cyclique s’il est monogène et fini.
Remarque : Si $\rm G$ est cyclique d’ordre $\rm n$ : $\rm G=\{e,x,x^2,…,x^{n-1}\}$.
Propriété : Un groupe cyclique est toujours abélien, c’est-à-dire commutatif.
Théorème : Soit $\rm n\geq 2$.
$\rm \mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar{0},\bar{1},\ldots\overline{n-1}\}$ (que l’on peut noter aussi simplement $\rm \{0,1,\ldots,n-1\}$) est l’ensemble des classes d’équivalence.
$\rm \mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe cyclique (où la loi vérifie $\rm \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}$).
Théorèmes :
- Tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb Z$.
- Tout groupe monogène fini de cardinal $\rm n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
Théorème : Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
Théorème : Un groupe d’ordre $\rm n$ est cyclique si et seulement si pour chaque diviseur $\rm d$ de $\rm n$, le groupe possède exactement un sous-groupe d’ordre $\rm d$.
Théorème : Soit $\rm G=$ un groupe cyclique d’ordre $\rm n\geq 2$.
Les générateurs de $\rm G$ sont les éléments $\rm a^k$ où $\rm k$ et $\rm n$ sont premiers entre eux.
En particulier, si $\rm G=\mathbb Z n \mathbb Z$, $\rm a$ est un générateur si et seulement si $\rm a$ est premier à $\rm n$.
Théorème : Soit $\rm G$ un groupe fini d’ordre premier $\rm p$. Alors :
- $\rm G$ est cyclique.
- Les seuls sous-groupes de $\rm G$ sont $\rm \{e\}$ et $\rm G$.
- Tous les éléments de $\rm G$ distincts de $\rm e$ sont des générateurs de $\rm G$.