Méthode 1 : Étudier des intégrales convergentes
Définition :
Soient $\rm a \in\mathbb R$ et $\rm b \in \mathbb R \cup \{+\infty\}$ avec $\rm a < b$.
Soit $f :\rm [a,b[\to \mathbb K$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm [a ~;b[$ converge si $\displaystyle \int_a^x f(\rm t)dt$ converge quand $x\to \rm b^-$.
Dans ce cas, $\displaystyle \int_{[\rm a ~; ~b[}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \lim_{x\to \mathrm b^-}\int_\mathrm a^xf\rm (t)dt$.
Définition :
Soient $\rm a \in\mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R$ avec $\rm a < b$.
Soit $f : \rm ]a, b] \to \mathbb K$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a ~;b]$ converge si $\displaystyle \int_x^\mathrm b f\rm (t)dt$ converge quand $x\to \rm a^+$.
Dans ce cas, $\displaystyle \int_{]\rm a ~;~b]}f\mathrm{(t)dt=\int_a^b}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle =\lim_{x\to \mathrm a^+}\int_x^\mathrm bf\rm (t)dt$.
Définition :
Soient $\rm a \in \mathbb R\cup \{-\infty\}$ et $\rm b\in\mathbb R\cup \{+\infty\}$.
Soit $f :\rm ]a ~; b[\to \mathbb R$ continue par morceaux.
L’intégrale de $f$ sur $\rm ]a~ ;b[$ converge si pour $\rm c\in]a ~;b[$, les intégrales de $f$ sur $\rm ]a ~;c]$ et sur $\rm [c ~;b[$ convergent.
Dans ce cas, $\displaystyle \int_{]\rm a~ ;~b[}f =\int_{]\rm a ~;~c]}f+\int_{[\rm c~ ;~b[}f$.
Propriétés :
Soient $f,g : \rm I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\rm I$ intervalle de $\mathbb R$.
- Si les intégrales $\int_\mathrm I f$ et $\int_\mathrm I g$ convergent :
- Si $\int_\mathrm I f$ converge et si $f\geq 0$, alors $\int_\mathrm I f\geq 0$.
- Si $\int_\mathrm I f$ converge, si $f\geq 0$ et si $\int_\mathrm I f=0$, alors $f$ est la fonction nulle.
- Si $\int_\mathrm I f$ converge, alors $\int_\mathrm I \bar{f}$ converge et $\int_\mathrm I \bar{f}=\bar{\int_\mathrm I f}$
Théorème de comparaison de fonctions positives :
Soient $f,g :\rm [a ~;+\infty[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $0\leq f\leq g$.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ converge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge.
Si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ diverge alors $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}g$ diverge.
Théorème :
Soit $f :\rm [a ~; +\infty[\to \mathbb R$ continue de primtive $\rm F$.
Il y a équivalence entre :
- $\displaystyle \int_\mathrm a^{+\infty}f\rm (t)dt$ converge.
- $\mathrm F(x)$ converge quand $x\to +\infty$.
On a alors : $\displaystyle \int_\mathrm a^{+\infty}f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\mathrm F(x)-\mathrm F(\mathrm a)$ $=[\mathrm F(x)]_{\rm a}^{+\infty}$
Théorème :
Si $f$ est continue et si $\displaystyle\int_\mathrm a^{+\infty}f$ converge alors $\displaystyle \frac{\rm d}{\mathrm dx}\bigg(\int_\mathrm a^{+\infty}f\bigg)=-f(x)$.
Théorème : Relation de Chasles
Soit $f :\rm I \to\mathbb C$ continue par morceaux telle que $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge.
Pour tous $\rm a, b, c$ éléments ou extrémités de $\rm I$ :
$\displaystyle \mathrm {\int_a^b} f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \mathrm{\int_a^c} f\mathrm{(t)dt + \int_c^b} f\rm (t)dt$
Et les intégrales convergent.
Méthode 2 : Critères d'intégralité
- Intégrabilité sur un intervalle quelconque
Théorème :
Soit $f :\rm I \to\mathbb R$ continue par morceaux et positive.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge
- Il existe $\rm M \in\mathbb R$, tel que pour tout $\rm [\alpha,\beta] \subset I$, $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f\leq \rm M$
Définition :
Soit $f : \rm I\to\mathbb K$ fonction continue par morceaux.
$f$ est intégrable sur $\rm I$ si $\displaystyle \int_\mathrm I |f \rm (t)|dt$ converge.
L’intégrale $\int_\mathrm I f\rm (t)dt$ est absolument convergente.
Théorème :
Si $f$ intégrable sur $\rm I$, alors $\displaystyle \int_\mathrm I f$ converge et $\displaystyle \left|\int_\mathrm I f\right|\leq \int_\mathrm I|f|$
Théorème :
Soient $f,g :\rm I\to \mathbb K$ continues par morceaux et $\alpha,\beta \in\mathbb K$.
Si $f$ et $g$ sont intégrables alors $\alpha f+\beta g$ est intégrable.
- Utiliser la comparaison de fonctions
Théorème :
Soient $f : \rm I \to \mathbb R$ et $g : \rm I \to \mathbb {R^+}$ continues par morceaux.
Si pour tout $\rm t \in I$, $|f(\mathrm t)|\leq g(\mathrm t)$ avec $g$ intégrable alors $f$ est intégrable.
Théorème de comparaison asymptotique :
Soient $f : \rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ et $g : \rm [a~ ;b[\to \mathbb R$ continues par morceaux avec $\rm a\in\mathbb R$ et $\rm b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$.
Si $f \mathrm{(t)\underset{t\to b^-}=O}(g(\rm t))$ et si $g$ intégrable alors $f$ intégrable.
Soient $f, g :\rm [a~ ;b[\to\mathbb R^+$ continues par morceaux.
Si $f \mathrm{(t)\underset{t\to b^-}\sim} g(\rm t)$ alors $\displaystyle \int_{\rm [a ~;~b[}f$ et $\displaystyle \int_{\rm [a ~;~b[}g$ ont même nature.
- Utiliser des intégrales usuelles
Théorème : Intégrales de Riemann
Soit $\alpha\in\mathbb R$.
$\rm \displaystyle \rm \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Théorème :
Soit $\rm a < b$ deux réels et $\alpha\in\mathbb R$. $\rm \displaystyle \int_a^b\frac{dt}{(t-a)^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.
Théorème :
Pour $\alpha,\beta \in\mathbb R$, $\displaystyle\rm \int_e^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}(\ln t)^{\beta}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta>1$).
Méthode 3 : Applications aux calculs d'intégrales
Théorème de changement de variables :
Soient $f$ continue sur $\rm ]a ~;b[$ et $\rm \varphi : ]\alpha~ ;\beta[\to ]a~ ;b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\rm C^1$.
Alors les intégrales $\displaystyle\mathrm{\int_a^b} f\rm (t)dt$ et $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(u))\varphi’(u)\mathrm du$
Sont de même nature et en cas de convergence :
$$\displaystyle\mathrm{\int_a^b} f\mathrm{(t)dt}=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(u))\varphi’(u)\mathrm du.$$
Théorème d’intégration par parties :
Soient $\rm I$ un intervalle d’extrémités $\rm a < b\in\bar{\mathbb R}$ et $u,v : \rm I\to \mathbb K$ de classe $\rm C^1$.
En cas de convergence :
$\displaystyle \mathrm{\int_a^b}u'(\mathrm t)v\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle= [uv]_{\rm a^+}^{\rm b^-}- \int_a^bu(t)v'\rm (t)dt.$