a) Différence entre une intégrale et une primitive
Une intégrale et une primitive sont deux objets différents. Une intégrale est un réel. Géométriquement, $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ mesure l'aire algébrique délimitée entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, la courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses.
L'adjectif algébrique signifie que la portion de surface en dessous de l'axe des abscisses est comptée négativement alors que celle au-dessus de l'axe des abscisses est comptée positivement.
La notion d'aire et donc d'intégrale est relativement complexe à construire. Pour résumer, on peut dire qu'une intégrale est une limite. C'est la limite de la somme d'aires de rectangles construits sur la courbe. Toute la difficulté est de savoir si cette limite existe. La théorie affirme que si $f$ est continue ou même continue par morceaux sur le segment $[a,b]$, alors cette limite existe et par conséquent l'intégrale de la fonction existe.
Il existe des fonctions très irrégulières qui n'admettent pas d'aire sous leur courbe. Un exemple est la fonction $\begin{array}{lllc}
f & {\Bbb R} & \rightarrow & {\Bbb R} \\
& x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cc}
1 & \text{ si }x \in {\Bbb Q} \\
0 & \text{ si }x \notin {\Bbb Q} \\ \end{array}\right.
\end{array}$
${\Bbb Q}$ est l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire les nombres de la forme $\displaystyle \frac{a}{b}$ avec $a \in {\Bbb Z}$ et $b \in {\Bbb N}^*$. Si on essaie de tracer le graphe de cette fonction, on comprend assez rapidement pourquoi l'aire sous la courbe n'existe pas.
La variable $t$ qui apparaît dans $\displaystyle{\int_a^bf(t){\rm d}t}$ s'appelle la variable d'intégration. Cette variable n'apporte aucune information. Si on la renomme en une autre lettre, on obtient toujours le même nombre. On dit que $t$ est une variable muette (comme l'indice muet $k$ dans la somme $\displaystyle{\sum_{k=0}^na_k}$).
De sorte que l'on peut écrire :
$\displaystyle \mathrm I = \int_a^bf(t){\rm d}t$ $\displaystyle = \int_a^bf(x){\rm d}x$ $\displaystyle = \int_a^bf(u){\rm d}u$ $\displaystyle = \int_a^b f$
Dans la dernière expression, on ne fait même plus référence à la variable d'intégration.
En conséquence, l'expression $\displaystyle{\mathrm I(t) = \int_a^bf(t){\rm d}t}$ n'a pas de sens ! L'intégrale est un nombre et ne dépend pas de la variable $t$.
b) Comment justifier l'existence d'une intégrale ou d'une primitive ?
Nous avons vu en préambule que si la fonction $f$ est trop irrégulière, l'aire $\displaystyle{\int_a^b f(t){\rm d}t}$ n'existe pas.
- Si $f$ est continue sur $[a,b]$ alors le réel $\displaystyle{\int_{a}^{b}f(t){\rm d } t}$ existe.
La réciproque est fausse. Il est possible que l'intégrale ou la primitive d'une fonction existe sans pour autant que cette fonction soit nécessairement continue.