Soit E un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension n∈N∗.
Définition : Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de E est un endomorphisme u conservant la norme c’est-à-dire pour tout x∈E, ‖u(x)‖=‖x‖.
L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un groupe, appelé groupe orthogonal de E et noté O(E).
Théorème : Soit u endomorphisme de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- u est orthogonal
- u conserve le produit scalaire : pour tous x,y∈E, (u(x)|u(y))=(x|y).
Théorème : Soient u endomorphisme de E et e=(e1,…,en) une base orthonormale de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- u est orthogonal
- La famille (u(e1),…,u(en)) est une base orthonormale
- Mateu∈On(R)
Remarque : L’ensemble des matrices orthogonales de taille n forme un groupe appelé groupe orthogonal et noté On(R).
Une matrice orthogonale de taille n est une matrice de Mn(R) vérifiant MtM=In.
Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormale de Rn.
Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou −1. Une matrice orthogonale est positive si son déterminant est égal à 1 et négative si son déterminant est égal à −1. L’ensemble des matrices orthogonales positives forme un groupe appelé le groupe spécial orthogonal et noté SOn(R).
Définition : On suppose que E est orienté.
Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant 1. Dans le cas contraire (déterminant =−1), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).
Théorème de réduction : Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale (→u,→v,→w) par la matrice (1000cosθ−sinθ0sinθcosθ)
L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par →u et d’angle θ.