Soit E un espace euclidien (= espace préhilbertien réel de dimension finie) de dimension nN.

Définition : Une isométrie vectorielle (aussi appelée automorphisme orthogonal d’un espace euclidien) de E est un endomorphisme u conservant la norme c’est-à-dire pour tout xE, u(x)=x.

L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un groupe, appelé groupe orthogonal de E et noté O(E).

Théorème : Soit u endomorphisme de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  1. u est orthogonal
  2. u conserve le produit scalaire : pour tous x,yE, (u(x)|u(y))=(x|y).

Théorème : Soient u endomorphisme de E et e=(e1,,en) une base orthonormale de E. Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  1. u est orthogonal
  2. La famille (u(e1),,u(en)) est une base orthonormale
  3. MateuOn(R)

Remarque : L’ensemble des matrices orthogonales de taille n forme un groupe appelé groupe orthogonal et noté On(R).

Une matrice orthogonale de taille n est une matrice de Mn(R) vérifiant MtM=In.

Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormale de Rn.

Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou 1. Une matrice orthogonale est positive si son déterminant est égal à 1 et négative si son déterminant est égal à 1. L’ensemble des matrices orthogonales positives forme un groupe appelé le groupe spécial orthogonal et noté SOn(R).

Définition : On suppose que E est orienté.
Une isométrie directe (ou positive) est une isométrie vectorielle de déterminant 1. Dans le cas contraire (déterminant =1), on parle d’isométrie indirecte (ou négative).

Théorème de réduction :  Une isométrie directe (différente de l’identité) peut être représentée dans une base orthonormale (u,v,w) par la matrice (1000cosθsinθ0sinθcosθ)

L’isométrie correspond à la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle θ.