Loi normale

La loi normale est une loi de probabilité continue.

La loi normale dépend de 2 paramètres : 

• Sa moyenne, notée $m$, qui définit l’axe de symétrie de la densité de probabilité.
• Son écart-type $\sigma$ qui définit la dispersion de la courbe : la courbe sera d’autant plus resserrée que $\sigma$ est faible.

On note $\mathrm X\sim \mathcal{N}(m,\sigma^2)$.

Variable normale centrée réduite : 

Si $\rm X$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d’écart type $\sigma$, alors la variable $\rm Z$ définie par : $\mathrm Z=\displaystyle\frac{\mathrm X-m}{\sigma}$ suit une loi normale de moyenne nulle ($\rm Z$ est centrée) et d’écart type égal à $1$ ($\rm Z$ est réduite).

A retenir : le graphique de la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite :

Remarque :

$\mathrm P(m-1,96\sigma\leq \mathrm X\leq m+1,96\sigma)=0,95$

Dans la pratique, on prend souvent $2$ au lieu de $1,96$.

Loi binomiale approximée par la loi normale :

Conditions : $n\geq 30$ et $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$

Approximation : la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ s’approxime par la loi normale $\mathcal{N}(\mu = np~ ; \sigma^2 = np(1-p))$