Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})$.
Vecteurs de l’espace
Pour deux points distincts de l'espace $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par sa direction (la droite $\mathrm{(AB)}$ de l'espace), son sens (de $\mathrm{A}$ vers $\mathrm{B}$) et sa longueur $\mathrm{AB} = \| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \|$.
Comme en géométrie plane, on peut définir la translation $t_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$ de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ qui transforme le point A en le point B.
Coordonnées de vecteurs
- Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$ deux points de l'espace et $\alpha$ un réel, on a :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}} ({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}} ;{z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})$
$\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\alpha({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}}) ; \alpha({y}_{\mathrm{B}} -{y}_{\mathrm{A}}) ; \alpha({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}}))$
- Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$, deux vecteurs de l'espace, on a :
$\vec{u} + \vec{v} (x + x’ ; y + y’ ; z + z’)$.
Vecteurs colinéaires et points alignés
- Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.
- Trois points de l’espace $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.