a) Définition
- $\rm E$ un espace vectoriel de dimension $\rm p$ muni de la base $\rm {\mathcal B}_E=(e_1,\ldots,e_p)$
- $\rm F$ un espace vectoriel de dimension $\rm n$ muni de la base $\rm {\mathcal B}_F$ $=(f_1,\ldots,f_n)$
Soit $f$ une $\rm A.L$ de $\rm E$ dans $\rm F$.
On synthétise les données dans le schéma suivant :
$\begin{array}{ccc}
\rm p & & \rm n \\
\rm E & \stackrel{f}{\longrightarrow} & \rm F \\
\rm {\mathcal B}_E & & {\mathcal B}_F\end{array}$.
La matrice représentative ou matrice associée de $f$ dans les bases $\rm {\mathcal B}_E$ et $\rm {\mathcal B}_F$ est la matrice, notée ${\rm Mat}(f,\rm {\mathcal B}_E,{\mathcal B}_F)$ ou $\rm M_{{\mathcal B}_E,{\mathcal B}_F}(\mathcal f)$, de $\rm M_{n,p}({\Bbb K})$ dont la $\rm j$-éme colonne est constituée par les coordonnées du vecteur
$f\rm (e_j)$ dans la base $\rm {\mathcal B}_F$.
Autrement dit si on pose $\rm M_{{\mathcal B}_E,{\mathcal B}_F}(\mathcal f) = \rm (a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$, on a : $\displaystyle{\forall \mathrm j \in \{1,\ldots,\mathrm p\} : f(\mathrm e_j)=\sum_{\rm i=1}^{\rm n}\mathrm a_{\rm i,j}f_i}$.
Remarque : On représente souvent la matrice $\rm M_{{\mathcal B}_E,{\mathcal B}_F}(\mathcal f)$ en la bordant par les vecteurs $f(\rm e_j)$ et $f_{\rm i}$.
$\rm M_{{\mathcal B}_E,{\mathcal B}_F}(\mathcal f) =$ $\left(\begin{array}{ccccc}
\rm a_{1,1} & \ldots & \rm a_{1,j} & \ldots & \rm a_{1,p}\\
& & & & \\
\vdots & & & & \vdots\\
& & & & \\
\rm a_{n,1} & \ldots & \rm a_{n,j} & \ldots & \rm a_{n,p}\\
\end{array}\right)$ $\begin{array}{l}
f_1 \\
\\
\\
\\
f_{\rm n}\\
\end{array}$
$\begin{array}{ccccc}
\uparrow & & \uparrow &
& \uparrow\\
\quad f(\rm e_1) & & f(\rm e_j) & & f(\rm e_p)\\
\end{array}$
Exemple :
Soit :
$\begin{array}{cc}
\scriptstyle f & \scriptstyle{\Bbb R}^3 &\scriptstyle \longrightarrow & \scriptstyle{\Bbb R}^2\\
& \scriptstyle(x,y,z) & \scriptstyle\mapsto & \scriptstyle(2x+3y-z,x+y+z)
\end{array}$
On montrerait facilement que $f$ est une $\rm A.L$.
Déterminer la matrice représentative de $f$ dans les bases canoniques $\rm {\mathcal B}_3=(e_1,e_2,e_3)$ de ${\Bbb R}^3$ et ${\mathcal B}_2=(f_1,f_2)$ de ${\Bbb R}^2$.
On a $f(\mathrm e_1) = f((1,0,0)) = (2,1)$, $f(\rm e_2) = (3,1)$ et $f(\rm e_3) = (-1,1)$
Les images se décomposent ainsi :
$(2,1) = 2.(1,0) + 1.(0,1)$ $= 2.f_1 + 1.f_2$
$(3,1) = 3.(1,0) + 1.(0,1)$ $= 3.f_1 + 1.f_2$
$(-1,1) = -1.(1,0) + 1.(0,1)$ $= -1.f_1 + 1.f_2$
D'où $\rm Mat_{{\mathcal B}_3,{\mathcal B}_2}(f) = \left(\begin{array}{ccr}
2 & 3 & -1\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)$