Nombres complexes

1) Définition et théorème

Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme dite exponentielle $z = \rho e^{i\theta}$ avec $\theta$ un réel appelé un argument de $z$ et $\rho$ un réel strictement positif égal au module de $z$. 

Remarque : $\rho$ est unique, mais $\theta$ n'est défini que modulo $2\pi$ ce qui veut dire que si $\theta$ est un argument de $z$ alors $\theta + 2k\pi$ avec $k$ un entier relatif est encore un argument. 

2) Si le nombre est particulier, il faut placer mentalement le nombre dans le plan complexe.

Par exemple, $z=5$ est sur l'axe réel positif donc un argument est $0$ et son module est $5$, donc $z = 5e^{i0}$.

$z=-3$ est sur l'axe réel négatif donc un argument est $\pi$ et son module est $3$, donc $z = 3e^{i\pi}$.

$z=-13i$ est sur l'axe imaginaire négatif donc un argument est $\displaystyle{-\frac{\pi}{2}}$ (ou $\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}$) et son module est $13$, donc $\displaystyle{z = 13 e^{-i\frac{\pi}{2}}}$.

3) Voici la méthode pour mettre un nombre complexe sous la forme exponentielle.

Dans la forme algébrique de $z=a+ib$, on met le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ en facteur :

$\displaystyle{z = \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + i\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}$.

Puis, on cherche un angle $\theta$ tel que :$\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ et $\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Exemple : 

Mettre sous forme exponentielle: $z=3-3.i$. 

a) On calcule le module : $|z| = |3-3.i|$ $= 3|1-i|$ $= 3\sqrt{1^2+(-1)^2}$ $= 3\sqrt{2}$.

b) On factorise par le module et on reconnaît un angle : 

$\displaystyle z = 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\displaystyle = 3\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ $\displaystyle = 3\sqrt{2}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]$

c) On écrit la forme exponentielle de $z$ : 
$\displaystyle{z = 3\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}}$

4) Application

On utilise la forme exponentielle d'un nombre complexe lorsqu'on a besoin de calculer la puissance entière d'un nombre complexe. En effet, il est plus facile de calculer $(a \times b)^n$ que $(a+b)^n$. 

Calculer $(3-3i)^{2011}$.

D'après la forme exponentielle de $3-3i$, 

$\displaystyle (3-3i)^{2011} = \left(3\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)^{2011}$ $\displaystyle = (3\sqrt{2})^{2011}e^{-i2011\frac{\pi}{4}}$ (on a utilisé la formule de Moivre).

Remarque : $(3\sqrt{2})^{2011}$ $= 3^{2011}\sqrt{2}^{2010}\sqrt{2}$ $= 3^{2011}2^{1005}\sqrt{2}$.

Simplification de $e^{-i2011\frac{\pi}{4}}$.

La division euclidienne de $2011$ par $8$ est $2011 = 251 \times 8 + 3$.

Donc $\displaystyle{\frac{2011}{4} = 251\times2 + \frac{3}{4}}$ donc $\displaystyle{\frac{2011}{4}\pi =251\times 2\pi + \frac{3}{4}\pi}$.

Donc $\displaystyle (3-3i)^{2011}$ $\displaystyle = 3^{2011}2^{1005}\sqrt{2}e^{-i\frac{3}{4}\pi}$ $\displaystyle = 3^{2011} 2^{1005}\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Donc $\displaystyle (3-3i)^{2011} = -3^{2011}2^{1005}(1+i)$.

Voici la méthode pour chercher les racines carrées d'un nombre complexe.

Soit $\mathrm A=a+ib$ un nombre complexe. On cherche $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.

On a $z^2=\mathrm A \iff (x+iy)^2 = a+ib \iff x^2-y^2 +2ixy =a +ib$.

On obtient un système de deux équations à deux inconnues :

$\left\{\begin{array}{lll}
x^2-y^2 & = a \\
2xy & = b
\end{array}\right.$.

Pour faciliter la résolution, on ajoute une 3e équation $z^2=\mathrm A \Rightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.
Or $|z^2| = |z|^2 = x^2+y^2$ et $|\mathrm A|=\sqrt{a^2+b^2}$.

On obtient donc un système $3$ d'équations à $2$ inconnues :

$\left\{\begin{array}{llll}
x^2-y^2 & = a & (1)\\
x^2+y^2 & = \sqrt{a^2+b^2} & (2)\\
2xy & = b & (3)
\end{array}\right.$.

$(1) + (2)$ donne $x$.

$(2) - (1)$ donne $y$. Cela va fournir $4$ couples $(x,y)$ possibles. Mais l'équation $(3)$ indique si $x$ et $y$ sont de même signe ou de signe contraire.

Remarque 1 : on doit toujours obtenir deux racines carrées, la deuxième étant opposée à la première.

Remarque 2 : si $\mathrm A$ est un nombre réel négatif, il est inutile d'utiliser cette méthode. Les racines carrées de $\mathrm A$ sont alors $\pm i\sqrt{-\mathrm A}$.

Exemple :

Cherchons les racines carrées du nombre $\mathrm A=3-4i$.

On cherche donc $z=x+iy$ tel que $z^2=\mathrm A$.

$z^2=a$ $\iff$ $(x+iy)^2=\mathrm A$ $\iff$ $x^2-y^2 + 2xy i = 3-4i$ $\iff$ $\left\{
\begin{array}{lll}
x^2-y^2= 3\\
2xy= - 4
\end{array}\right.$

L'utilisation du module va fournir une 3e équation.

$z^2=\mathrm A \Longrightarrow |z^2| = |\mathrm A|$.

Or $|z^2|=|z|^2=x^2+y^2$ et $|\mathrm A|=\sqrt{9+16}=5$. On a donc le système d'équations :

$\left\{\begin{array}{cccc}
x^2-y^2 & = & 3 & (1) \\
x^2+y^2 & = & 5 & (2) \\
\text{signe}(xy) & = & \text{négatif}
\end{array}
\right.$

En additionnant $(1)$ et $(2)$, on obtient : $2x^2 = 8$ soit $x^2=4$ soit $x = \pm 2$.

En soustrayant $(2)$ et $(1)$, on obtient : $2y^2 = 2$ soit $y^2=1$ soit $y = \pm 1$.

Comme le signe de $x$ et $y$ est différent, on a ($x=2$ ET $y=-1$) OU ($x=-2$ ET $y=1$).

Les racines carrées de $3-4i$ sont donc $z=2-i \mbox{ et }z=-2+i$.

Vérification : $(2-i)^2 = 4 -4i +i^2 = 3-4i$.

1) Définition :

Soit $z$ un complexe non nul. Soit $n$ un entier naturel non nul. Une racine $n$-ième de $z$ est un nombre complexe $u$ tel que $u^n=z$.

Théorème : Tout nombre complexe non nul $z$ admet exactement $n$ racines n-ièmes.

2) Définition :

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle racine n-ième de l'unité, un nombre complexe $z$ tel que $z^n = 1$.

Elles s'écrivent : $\displaystyle e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ avec $k=0,\ldots,n-1$.

3) Méthode pour déterminer toutes les racines $n$-ièmes complexes de $z$. 

• 1re étape : on écrit $z$ sous forme exponentielle $z = \mathrm R e^{i\varphi}$.
• 2e étape : on cherche une racine $n$-ième particulière de $z$ à l'aide de la formule 
  $\displaystyle u_0= \mathrm R^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i\varphi}{n}}$.
• 3e étape : on obtient toutes les racines $n$-ièmes de $z$ en multipliant la racine particulière $u_0$ par les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité $\displaystyle \omega_k = e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ soit $u_ k = u_0 \omega_k$ avec $k=0,\ldots,n-1$. 

4) Exemple :

Calculons les racines cubiques de $z=1+i$.

• 1re étape : on a $\displaystyle z=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{4}}$. 
• 2e étape : on cherche une racine cubique $u_0$ particulière. 

On prend $\displaystyle u_0 =\left(\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$. 

• 3e étape :

Pour obtenir toutes les racines cubiques de $z$, on multiplie $u_0$ par les racines cubiques de l'unité: $1,~j,~j^2$. On obtient alors :

$\displaystyle 1\times u_0=u_0= 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$.

$\displaystyle j\times u_0 = e^{\frac{2i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}} = 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{3i\pi}{4}}$.

$j^2\times u_0 = e^{\frac{4i\pi}{3}}2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}e^{\frac{17i\pi}{12}}$ $= 2^{\frac{1}{6}}e^{-\frac{7i\pi}{12}}$.

5) Remarque :

Lorsqu'on relie les points d'affixe les racines $n$-ièmes, on doit obtenir un polygone régulier (c'est-à-dire tous les côtés ont la même longueur) inscrit dans le cercle de centre l'origine et de rayon $\displaystyle \mathrm R^{\frac{1}{n}}$.