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Nombres complexes et trigonométrie

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Formules complémentaires du cosinus et du sinus

Formules d’addition du cosinus et du sinus

Pour a et b deux réels :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

sin(ab)=sin(a)cos(b)sin(b)cos(a)

Formules de duplication du cosinus et du sinus

Pour un réel a :

cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=2cos2(a)1=12sin2(a)

sin(2a)=2cos(a)sin(a)

On a donc les formules de linéarisation suivantes :

cos2(a)=cos(2a)+12

sin2(a)=1cos(2a)2

Exponentielle imaginaire, formules d’Euler et de Moivre

Propriétés de l’exponentielle imaginaire

Un nombre complexe non nul z est écrit sous forme exponentielle lorsque :

z=reiθ, où rR+ et θ]π ; π].
r est le module de z et θ l’argument de z.

Pour tous nombres réels θ et θ, et tout entier relatif n :

ei(θ+θ) = eiθ×eiθ    ;    (eiθ)n = einθ 

¯eiθ=eiθ = 1eiθ ; ei(θθ) =eiθeiθ.

Formules d'Euler 

Pour tout nombre réel θ :

cos(θ)=eiθ+eiθ2

sin(θ)=eiθeiθ2i

Formule de Moivre

Pour tout nombre réel θ et tout entier relatif n :

(eiθ)n =einθ donc (cos(θ)+isin(θ))n=cos(nθ)+isin(nθ).

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