Définition
Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $\mathrm{Re}(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\mathrm{Im}(z)$.
$z$ est un réel $\Leftrightarrow \mathrm{Im}(z) = 0$
$z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow \mathrm{Re}(z) = 0$
Addition et soustraction
Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.
Exemple :
${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 + {z}_2$ $= (3 + 5i) + (-2 + 3i)$ $= (3 + (-2)) + (5 + 3)i$ $= 1 + 8i$.
${z}_1 - {z}_2$ $= (3 + 5i) - (-2 + 3i)$ $= (3 + 2) + (5 - 3)i$ $= 5 + 2i$.
Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $i^2 = -1$.
Exemple :
${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 \times {z}_2 = (3 + 5i)(-2 + 3i)$ $= -6 + 9i -10i -15$ $= -21 - i$
Division
Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple :
${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
$\displaystyle \frac{{z}_1}{{z}_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i}$
$\displaystyle = \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$
$\displaystyle = \frac{-6-9i-10i+15}{13}$ $\displaystyle = \frac{9 - 19i}{13}$
$\displaystyle = \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i$