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Nombres complexes : point de vue algébrique

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Définition et opérations

Définition

Un nombre complexe z est écrit sous forme algébrique si z=a+bi, où a et b sont deux réels et où i est le nombre complexe tel que i2=−1.
a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z) ; b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z).

z est un réel ⇔Im(z)=0
z est un imaginaire pur ⇔Re(z)=0

Addition et soustraction

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.

Exemple :

z1=3+5i et z2=−2+3i
z1+z2 =(3+5i)+(−2+3i) =(3+(−2))+(5+3)i =1+8i.
z1−z2 =(3+5i)−(−2+3i) =(3+2)+(5−3)i =5+2i.

Multiplication

Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que i2=−1.

Exemple :

z1=3+5i et z2=−2+3i
z1×z2=(3+5i)(−2+3i) =−6+9i−10i−15 =−21−i

Division

Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple : 

z1=3+5i et z2=−2+3i
z1z2=3+5i−2+3i
=(3+5i)(−2−3i)(−2+3i)(−2−3i)
=−6−9i−10i+1513 =9−19i13
=913−1913i

Nombre complexe conjugué et propriétés

Nombre complexe conjugué

Soit un nombre complexe $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.

Propriétés du conjugué

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n$ un entier relatif. On a :

$\overline{(\bar{z})} = z$ ; $\overline{z+z'}$ $= \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\overline{z\times z'}$ $= \bar{z} \times \bar{z'}$

$\overline{z^n} = {\bar{z}}^n$ avec $z\neq 0$ lorsque $n < 0$

$\displaystyle \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar{z}}$ si $z\neq 0$ ; $\displaystyle \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ si $z'\neq 0$

Identités remarquables et formule du binôme de Newton

Identités remarquables

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

$(z + z')^2 = z^2 + 2z z' + z'^2$

$(z - z')^2 = z^2 - 2z z' + z'^2$

$(z-z')(z+z') = z^2 - z'^2$

Formule du binôme de Newton

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes et $n$ un entier naturel. On a : 

$\displaystyle (z + z')^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^{n-k} z'^k$ 

Exemples :

$(z + z')^3 = z^3 + 3z^2 z' +3 z z'^2 + z'^3$

$(z + z')^4 = z^4 + 4z^3 z' + 6 z^2 z'^2 + 4z z'^3 + z'^4$

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