Nombres complexes : point de vue géométrique

Définition

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque :

$z = r(\mathrm{cos}(\theta) + i \mathrm{sin}(\theta))$
$r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $\mathrm{O}$ et le point $\mathrm{M}$ d'affixe $z$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\mathrm{arg}(z)$. Il est défini à $2 \pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}~ ;~ \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm{O}~ ;~ \vec{u}~ ;~ \vec{v})$ .

Propriétés

Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

$\mid {z}_1 \times {z}_2∣ = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$
$\mathrm{arg}({z}_1 \times {z}_2) = \mathrm{arg}({z}_1) + \mathrm{arg}({z}_2) (2 \pi)$
$\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$
$\mathrm{arg}({{z}_1}^{n}) = n \times \mathrm{arg}({z}_1) (2 \pi)$

Pour un nombre complexe $z$, on a : $\mid z\mid ^2 = z \bar{z}$.

Forme exponentielle

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme exponentielle lorsque :

$z = r\mathrm e^{i\theta}$, où $r \in \:{\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \:]-\pi~ ;~ \pi]$.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$, 

$r = \sqrt{{a}^2 + {b}^2}$

$\displaystyle \mathrm{cos}(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\mathrm{sin}(\theta) = \frac{b}{r}$

On utilise ensuite le cercle trigonométrique pour déterminer $\theta$ (à $2\pi$ près).

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\mathrm{cos}(\theta) + i\mathrm{sin}(\theta))$,

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.

Image et affixe

Soit $z = a+bi$ un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

L'image du nombre complexe $z$ est le point $\mathrm{M}(a~;~b)$.

Réciproquement, l'affixe du point $\mathrm{M}(a~;~b)$ est le nombre complexe $z=a+bi$.

Ce que l'on peut résumer en :

$\mathrm{M}$ est l'image de $z$ $\Leftrightarrow$ $z$ est l'affixe de $\mathrm{M}$.

Remarque :

L'affixe du vecteur $\vec{u}(a~;~b)$ est le nombre complexe $z=a+bi$.