Pour tout ce qui suit, on munit l’espace d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})$.
Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$, deux vecteurs de l'espace :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$ qui est un nombre réel.
Exemple :
Pour $\vec{u}(2~;~-1~;~3)$, $\vec{v}(1~;~0~;~-2)$, deux vecteurs :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 0 + 3 \times (-2) = -4$.
Propriétés du produit scalaire
Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace et un nombre réel $k$ :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v})$ $= k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.