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Pour tout ce qui suit, on munit l’espace d’un repère orthonormé (O;→i;→j;→k).
Pour →u(x;y;z) et →v(x′;y′;z′), deux vecteurs de l'espace :
→u⋅→v=xx′+yy′+zz′ qui est un nombre réel.
Pour →u(2 ; −1 ; 3), →v(1 ; 0 ; −2), deux vecteurs :
→u⋅→v=2×1+(−1)×0+3×(−2)=−4.
Pour →u, →v et →w trois vecteurs de l’espace et un nombre réel k :
→u⋅→v=→v⋅→u
(k→u)⋅→v=→u⋅(k→v) =k(→u⋅→v).
Pour $\vec{u}(x~;~y~;~z)$ un vecteur de l'espace :
$\| \overrightarrow u \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Pour $\mathrm{A }({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$, deux points de l'espace :
$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}=$ $\sqrt{{({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})}^2 + {({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})}^2 + {({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})}^2}$
Pour les points $\mathrm{A}(-1~;~ -2 ~; ~2)$ et $\mathrm{B}(3~; ~0~ ;~ 1)$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(4~;~2~;~-1)$ et :
$\mathrm{AB} = \sqrt{4^2+2^2+{(-1)}^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.
Deux vecteurs de l’espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Les vecteurs $\vec{u}(2~;~-1~; ~3)$ et $\vec{v}(2~;~4~;~0)$ sont orthogonaux car :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \times 2 + (-1) \times 4 + 3 \times 0$ $= 4 - 4 = 0$.
Un vecteur $\vec{n}$ non nul de l'espace est un vecteur normal à un plan $\rm P$ s'il est orthogonal à tous les vecteurs du plan $\rm P$, donc à au moins deux vecteurs non colinéaires du plan $\rm P$.
Le plan $\rm P$ passant par le point $\rm A$ et de vecteur normal non nul $\vec{n}$ est donc l'ensemble des points $\rm M$ tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux, soit $\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n} = 0$.
