Polynômes d’endomorphismes et matrices carrées

Les énoncés présentés ici se transposent aux matrices carrées.

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.

Méthode 1 : Etudier un polynôme annulateur

• Soit $u\in \mathcal L\rm (E)$ un endomorphisme.

$\rm P\in \mathbb K[X]$ est un polynôme annulateur de $u$ si $\rm P(u)=0$ ($0$ étant l’application nulle).

• Si $\rm P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $\rm P$.
• Théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique de $u$ $\chi_u$ est annulateur de $u$.

Méthode 2 : Etudier un polynôme minimal

• Pour tout endomorphisme $u\in \mathcal L\rm (E)$, il existe un unique polynôme $\pi_u$ tel que :
  • $\pi_u$ est annulateur de $u$
  • $\pi_u$ est unitaire
  • Pour tout $\rm P\in\mathbb K[X]$, $\mathrm P(u)=0 \Rightarrow \pi_u | \rm P$.
    Ce polynôme $\pi_u$ est le polynôme minimal de l’endomorphisme $u$.
• Théorème : les valeurs propres de l’endomorphisme $u$ sont les racines de son polynôme minimal.

Méthode 3 : Savoir si l’endomorphisme est diagonalisable ou trigonalisable

• Théorème : il y a équivalence entre :
  • $u$ est diagonalisable
  • $u$ annule un polynôme scindé à racines simples
  • Le polynôme minimal de $u$ est scindé à racines simples ($\pi_u=\displaystyle \prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}( \rm X-\lambda)$).
• Proposition : Soit $\rm F$ un sous-espace stable par $u$ et $u_{\rm F}$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $\rm F$.
  • Son polynôme minimal divise le polynôme minimal de $u$.
  • Si $u$ est diagonalisable, $u_{\rm F}$ est également diagonalisable.

• Théorème : il y a équivalence entre :
  • $u$ est trigonalisable
  • $u$ annule un polynôme scindé sur $\mathbb K$
  • Le polynôme minimal de $u$ est scindé sur $\mathbb K$