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On considère une fonction f continue sur l’intervalle I. La fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I si pour tout x∈I, F′(x)=f(x).
L'ensemble des primitives de la fonction f sur I est alors composé des fonctions définies sur I par F(x)+k avec k un nombre réel.
Les primitives de la fonction f définies par f(x)=x2 sur ]−∞ ;+∞[ sont les fonctions F(x)=x33+k avec k un nombre réel.
Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
Tableau de primitives :
| Fonctions | Primitives | Intervalles |
$x \mapsto a$ |
$\color{black}{x \mapsto ax + b}$ |
$\color{black}{\rm I= \mathbb R}$, $\color{black}{(a~;b) \in \mathbb R^2}$ |
$\color{black}{x \mapsto x^n}$ |
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n + 1} + c}$ |
$\color{black}{n \in \mathbb Z\backslash\{-1\}}$, $\color{black}{c\in \mathbb R}$Si $\color{black}{n < 0}$, $\color{black}{\rm I = \mathbb R}$Si $\color{black}{n < 0}$, $\color{black}{\rm I = ] -\infty~; 0[}$ ou $\color{black}{]0~; +\infty[}$ |
$\color{black}{x \mapsto \cos(x)}$ |
$\color{black}{x \mapsto \sin(x) +c}$ |
$\color{black}{\rm I = \mathbb R}$, $\color{black}{c \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \cos}$
|
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{a}\sin}$
|
$\color{black}{\rm I = \mathbb R}$, $\color{black}{(a~;b~c)\in \mathbb R^3}$, $\color{black}{a \neq 0}$ |
$\color{black}{x \mapsto \sin(x)}$ |
$\color{black}{x \mapsto - \cos(x) + c}$ |
$\color{black}{\rm I = \mathbb R}$, $\color{black}{c \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \sin}$$\color{black}{(ax + b)}$ |
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto -\frac{1}{a}\cos}$$\color{black}{(ax + b) + c}$ |
$\color{black}{\rm I = \mathbb R}$, $\color{black}{(a~;b~c)\in \mathbb R^3}$, $\color{black}{a \neq 0}$ |
$\color{black}{\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}}$ |
$\color{black}{x \mapsto \ln(x) + c}$ |
$\color{black}{\rm I = ]0~;+\infty[}$, $\color{black}{c \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x}$ |
$\color{black}{x \mapsto \mathrm e^x + c}$ |
$\color{black}{\rm I = \mathbb R}$, $\color{black}{c \in \mathbb R}$ |
$\color{black}{u' \times u^n}$ |
$\color{black}{\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1} + \rm C}$ |
$\color{black}{n \in \mathbb N}$ ou si $\color{black}{n \in \mathbb Z^- \backslash\{-1\}}$, $\color{black}{u(x) \neq 0}$ |
$\color{black}{u' \times \mathrm e^u}$ |
$\color{black}{\mathrm e^u+ \mathrm C}$ |
|
$\color{black}{\displaystyle \frac{u'}{u}}$ |
$\color{black}{\ln(u)+ \mathrm C}$ |
Intervalle tel que $\color{black}{u(x) > 0}$ |
