go-back Retour

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

📝 Mini-cours GRATUIT

Représentation paramétrique d’une droite de l'espace

Une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point A(xA ;yA ;zA) et de vecteur directeur u(α ;β ;γ)0 est : 

x=αt+xA
y=βt+yA
z=γt+zA

avec t un nombre réel.

Réciproquement, les équations suivantes :

x=αt+xA
y=βt+yA
z=γt+zA

avec t un nombre réel sont une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point A(xA ;yA ;zA) et de vecteur directeur u(α ;β ;γ)0

Exemple :

Une représentation paramétrique de la droite passant par les points A(1 ; 2 ; 2) et B(3 ; 0 ; 1) est :

x=4t1
y=2t2
z=t+2
 

Avec t un nombre réel, car elle passe par le point A et admet pour vecteur directeur :

AB(3(1) ; 0(2) ; 12)

Soit : 

AB(4 ; 2 ; 1).

Équation cartésienne d’un plan

Vecteur normal

Un vecteur normal à un plan de l’espace est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan (ou bien à seulement deux vecteurs non colinéaires de ce plan).

Équation cartésienne d’un plan de l’espace

Le plan $\rm P$ dont $\vec{n}(a~ ; b~ ; c) \neq \vec{0}$ est un vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $d$ un nombre réel à déterminer à l’aide des coordonnées d’un point du plan $\rm P$.

Réciproquement, l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a~;~b~;~c) \neq (0~;~0~;~0)$ et $d$ un nombre réel est celle d'un plan qui admet le vecteur $\vec{n}(a~;~b~;~c) \neq \vec{0}$ pour vecteur normal.

Exemple :

Le plan $Q$ passant par le point $\mathrm{A}(1~; ~2~;~-1)$ dont $\vec{n}(2~;~ -1~;~3)$ est un vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme $2x - y + 3z + d = 0$ ($d$ nombre réel). 

$\mathrm{A}(1~;~2~;~-1) \in Q$ donc

$2 - 2 - 3 + d = 0$ et $d = 3$.

Une équation cartésienne du plan $Q$ est :

$2x - y + 3z + 3 = 0$.

Projeté orthogonal sur une droite ou un plan

Projeté orthogonal sur une droite

Le projeté orthogonal d'un point $\mathrm{A}\notin \rm D$ sur une droite $\rm D$ est le point $\rm H \in D$ tel que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ est un vecteur normal à la droite $\rm D$.

La distance du point $\rm A$ à la droite $\rm D$ est la distance $\rm AH$.

Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal d'un point $\rm A \notin P$ sur un plan $\rm P$ est le point $\rm H \in P$ tel que le vecteur $\overrightarrow{\rm AH}$ est un vecteur normal au plan $\rm P$.

La distance du point $\rm A$ au plan $\rm P$ est la distance $\rm AH$.

NOMAD EDUCATION

L’app unique pour réussir !