Séries de fonctions

On considère des fonctions à valeurs dans $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
$\rm I$ et $\rm J$ représentent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $(u_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ vers $\mathbb K$.
On note $\rm S_n=\displaystyle\sum_{\rm k=0}^{\rm n} \mathcal u_{\rm k}$ la somme partielle de rang $\rm n$ de la série de fonctions de terme général $u_{\rm n}$ : $\displaystyle\sum_{\rm n} \mathcal u_{\rm n}$.

Méthode 1 : Étudier la convergence de séries de fonctions

• Convergence simple :

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement si la suite de ses sommes partielles $\rm (S_n)$ converge simplement vers une fonction $\rm S$ appelée somme de la série de fonctions : $\rm S=\displaystyle \sum_{\rm n=0}^{+\infty}\mathcal u_{\rm n}$.

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$.
• La série numérique $\displaystyle \sum u_{\rm n}(\rm t)$ converge pour tout $\rm t\in I$.

Proposition :

Si la série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement, alors $\rm S=S_n+R_n$ avec $\rm R_n = \displaystyle \sum_{\rm k=n+1}^{+\infty}\mathcal u_{\rm k}$, reste de rang $\rm n$ et la suite $\rm (R_n)$ converge simplement vers $0$.

• Convergence uniforme :
  

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément si la suite de ses sommes partielles $\rm (S_n)$ converge uniformément.

Théorème :

Il y a équivalence entre :

• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément sur $\rm I$.
• La série de fonctions $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement et la suite de ses restes $\rm (R_n)$ converge uniformément vers $0$.

• Convergence normale :
  

Définition :

La série de fonctions $\displaystyle \sum u_\rm n$ converge normalement si :

• Les fonctions $u_\rm n$ sont toutes bornées.
• La série numérique $\displaystyle \sum \|u_\rm n\|_{\infty}$ est convergente.

Remarque :

Pour prouver la convergence normale, il suffit de majorer la suite $(u_{\rm n})$ pour tout $\rm t\in I$ par une suite dont la série converge.

Théorème :

Convergence normale $\Rightarrow$ Convergence uniforme $\Rightarrow$ Convergence simple

Attention : les réciproques sont fausses.

Méthode 2 : Étudier la continuité et les limites

Théorème :

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ est une série de fonctions continues qui converge uniformément sur tout segment de $\rm I$, alors sa somme $\rm S$ est continue.

Remarque :

$(u_\rm n)$ converge uniformément sur tout segment de $\rm I$ vers $u : \rm I\to \mathbb K$ si pour tout $\rm [a~ ;b]\subset I$, $(u_{\rm n})$ converge uniformément vers $u$ sur $\rm [a~ ;b]$.

La convergence uniforme sur $\rm I$ entraîne la convergence uniforme sur tout segment de $\rm I$, mais la réciproque est fausse.

Théorème de la double limite :

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément vers $u$ sur $\rm I$ et si chaque $u_{\rm n}$ tend en $\rm a$ vers une limite finie $\rm l_n$ alors la série numérique $\displaystyle \rm \sum l_n$ converge et $\displaystyle\rm \lim_{t\to a}\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{t\to a}\mathcal u_n(t)$.

Méthode 3 : Étudier l’intégration et la dérivation

• Intégration sur un segment :

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ série de fonctions de $\rm [a ~;b]$ vers $\mathbb R$. Si :

• Chaque $u_{\rm n}$ est continue.
• $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge uniformément sur $\rm [a~ ;b]$

Alors $\displaystyle\rm S=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n$ est continue et $\displaystyle\rm  \sum_{n=0}^{+\infty}\int_a^b \mathcal u_n(t)dt=\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n(t)dt$

• Dérivation :

Théorème :

Soit $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ série de fonctions de classe $\rm C^1$ de $\rm I$ vers $\mathbb K$.

Si $\displaystyle \sum u_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$ et si $\displaystyle \sum u_{\rm n’}$ converge uniformément sur tout segment de $\rm I$, alors $\displaystyle\rm S=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n$ est de classe $\rm C^1$ sur $\rm I$ et $\left (\displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n\right )’=\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\mathcal u_n’$.