Définition :
Soient $\rm F$ et $\rm G$ deux sev d'un ${\Bbb K}$-$\rm ev$ $\rm E$.
$\rm F$ et $\rm G$ sont supplémentaires dans $\rm E$ si $\rm E=F \oplus G$.
Autrement dit : $\rm F$ et $\rm G$ sont supplémentaires si :
- $\rm F$ et $\rm G$ sont en somme directe
- $\rm F+G=E$
Remarque : ne pas confondre SOMME DIRECTE et SUPPLÉMENTAIRE
Si deux sev sont supplémentaires alors ils sont en somme directe mais la réciproque est fausse.
Exemple :
Dans l'espace vectoriel ${\Bbb R}^3$, on considère la droite $\rm F = vect((1,0,0))$ et la droite $\rm G = vect((0,1,0))$.
On a $\rm F\cap G = \{(0,0,0)\}$ donc $\rm F$ et $\rm G$ sont en somme directe.
Mais $\rm F+G=$ le plan horizontal $(x\mathrm Oy) \neq {\Bbb R}^3$ donc $\rm F$ et $\rm G$ ne sont pas des $\rm sev$ supplémentaires dans ${\Bbb R}^3$.