Suites 2

Définition

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 + nr$.

Monotonie d’une suite arithmétique

Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante.
Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : 

$S = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = (n + 1) \frac{{u}_0 + {u}_{n}}{2}$

Le raisonnement par récurrence comporte 3 phases :

• Initialisation : vérifier la propriété au premier rang (souvent $n = 0$ ou $n = 1$) ;
• Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un certain rang $n$ et on la démontre pour le rang $n + 1$. C'est l'étape fondamentale de la récurrence.
• Conclusion.

Convergence d’une suite

On étudie la limite de ${u}_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . 
On a deux cas possibles :

• Si la limite est finie, alors $({u}_{n})$ converge ;
• Si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $({u}_{n})$ diverge.

Étude de la limite d’une suite

Pour étudier la limite, on peut :

• Utiliser les théorèmes sur les limites de fonctions ;
• Utiliser les propriétés des limites de suites géométriques ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration / minoration et de convergence monotone ;
• Encadrer la suite par deux suites qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Définition

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$.
On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.

Monotonie d’une suite géométrique

Supposons que $u_0 > 0$ et $q > 0$.

Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante.
Si $q < 1$, alors la suite est strictement décroissante.
Si $q =1$, alors la suite est constante.

Limite d’une suite géométrique 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$. 

• Si $q > 1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ donc  $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $u_0$. 
• Si $q = 1$,   $u_n = u_0$ pour tout entier naturel $n$ et  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = u_0$.
• Si $-1 < q < 1$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n$ = 0 donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
• Si $q \leq -1$,  la suite $(q^n)$ n'admet pas de limite donc la suite $(u_n)$ n'admet pas de limite non plus
  $\rightarrow u_n = u_0 \times q^n$ donc le $u_0$ ne joue un rôle que pour le signe de l’expression, pas dans la convergence..

Somme des premiers termes 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$ :

$\mathrm S_n = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = {u}_0 \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}$