Suites numériques

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.
Une suite arithmétique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_n$ et on obtient un réel $r$.

Terme général d’une suite arithmétique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.

Monotonie d'une suite arithmétique

• Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, 
$\displaystyle S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}$

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
Une suite géométrique est définie de manière unique par sa raison et son premier terme.
Pour démontrer qu'une suite de termes non nuls est géométrique, on calcule $\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ et on obtient un réel $q$.

Terme général d’une suite géométrique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 \times q^n$.

Monotonie d'une suite géométrique

Si $q > 0$ et de plus $u_0 > 0$, on a :

• Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $q =1$, alors la suite est constante.

Si $q > 0$ et de plus $u_0 < 0$, on a :

• Si $q > 1$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $0 < q < 1$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $q =1$, alors la suite est constante.

Si $q = 0$, la suite est constante.

Si $q < 0$, la suite n’est pas monotone.

Somme des premiers termes d’une suite géométrique

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$,
$\displaystyle S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = u_0 \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$