Théorie sur les ensembles

Définition : Soient deux ensembles $\rm E$ et $\rm F$.

$\rm E$ est inclus dans $\rm F$ ($\rm E \subset F$) , c’est-à-dire $\rm E$ est une partie de $\rm F$, si pour tout $x\in \rm E$, $x\in \rm F$.

On note $\mathcal P(\rm E)$ l’ensemble des parties de $\rm E$.

Définition : Soient $E$ un ensemble et $\rm P\in\mathcal P(E)$.

$\rm P$ est une partition de $\rm E$ si et seulement si :

• Pour tout $\rm A\in P$, $\rm A\neq \emptyset$.
• $\rm \forall A \in P$, $\rm \forall B\in P$, $\rm (A\neq B)$ implique $\rm A\cap B=\emptyset$.
• $\forall x\in \rm E$, il existe $\rm A\in P$ tel que $x\in \rm A$.

Définition : Soient $\rm E$ un ensemble et $\rm A,B$ des parties de $\rm E$.

• $\rm \bar{A}=\{\mathcal x\in E / \mathcal x\notin \rm A\}$ est le complémentaire de $\rm A$ dans $\rm E$.
• $\rm A \cup B=\{\mathcal x \in E / \mathcal x \in A \text{ ou } \mathcal x\in \rm B\}$ est la réunion de $\rm A$ et $\rm B$.
• $\rm A\cap B=\{\mathcal x\in E / \mathcal x\in A \text{ et } \mathcal x\in B\}$ est l’intersection de $\rm A$ et $\rm B$.

$\rm \bar{A}$, $\rm A\cup B$, $\rm A\cap B$ sont des parties de $\rm E$.

Définition : Soient $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles.

$\rm E\times F$ $=\{(x,y)/x\in \rm E \text{ et } \mathcal y\in F\}$ est le produit cartésien de $\rm E$ et $\rm F$.

Propriétés : Soient $\rm E,F,G$ des ensembles.

$\rm (E\times F)\cup (E\times G)=E\times (F\cup G)$

$\rm (E\times F)\cup (G\times F)=(E\cup G)\times F$

$\rm (E\times F) \cap (G\times H)=(E\cap G)\times (F\cap H)$

Propriétés : Soient $\rm E$ et $\rm F$ deux ensembles et $f : \rm E\to F$ une application.

Soient $\rm A,B$ des parties de $\rm E$.

$\rm A\subset B$ implique $f(\mathrm A)\subset f(\rm B)$

$f(\rm A\cup B)=\mathcal f(A)\cup \mathcal f(B)$

$f(\rm A \cap B) \subset \mathcal f(A) \cap \mathcal f(B)$