Soit A, B, C, et D quatre points du plan complexe, distincts deux à deux et soit a,b,c et d leurs affixes respectives.
Alors : ACAB=|c−ab−a|
et (→AB,→AC)=arg(c−ab−a)(2π).
Théorème : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si arg(c−ab−a)=0(π) autrement dit si (c−ab−a) est un nombre réel.
Théorème : Si (c−ab−a) est un nombre imaginaire pur, les droites (AB) et (AC) sont orthogonales, donc le triangle ABC est rectangle en A.
Si ce nombre est égal à i ou à −i, alors le triangle est rectangle isocèle en A.
Théorème : Pour démontrer qu’un triangle ABC est équilatéral, il faut montrer que :
c−ab−a=eiπ/3 ou c−ab−a=e−iπ/3.
Définition : On appelle racine n-ième de l'unité tous les nombres complexes z vérifiant zn=1. Ce sont donc les nombres complexes w0,…,wn−1 s'écrivant :
wk=exp(2ikπn).
On note Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
Théorème : Les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets du polygone régulier Pn à n côtés inscrit dans le cercle unité. Le point unité 1 est un sommet commun à tous les Pn.
Exemple :
Si n=3, les racines n-ièmes de l'unité (1 ; j et j2) sont les sommets d’un triangle équilatéral.
Si n=4, les racines n-ièmes de l'unité (1 ;-1 ;i et −i) sont les sommets d’un carré.
Théorème : Si n est supérieur ou égal à 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité est égale à 0 :
n−1∑k=0exp(2ikπn)=0