Valeurs et vecteurs propres – Niveau 2

Soient $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel non réduit à $\rm \{0_E\}$ et $u$ un endomorphisme de $\rm E$ ($u \in\mathcal L(\rm E)$).

Méthode 1 : Identifier un sous-espace stable

Définition : Soient $u,v\in\mathcal L(\rm E)$ et $\rm A,B\in M_{n}(\mathbb K)$.

Un sous-espace $\rm F$ de $\rm E$ est stable par $u$ si $u(\rm F)\subset F$.
L’endomorphisme $u_{\rm F}$ défini par $u_{\rm F}(x)=u(x)$ pour tout $x\in \rm F$ s’appelle endomorphisme induit par $u$ sur $\rm F$.

Propriété : Si $u$ et $v$ commutent, alors $\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Ker}(u)$ sont stables par $v$.

Méthode 2 : Identifier les éléments propres d’un endomorphisme

• $x$ est vecteur propre de $u$ si : $x\neq 0_{\rm E}$ et il existe $\lambda \in \mathbb K$ tel que $u(x)=\lambda x$.
• $\lambda$ est valeur propre de $u$.

Le spectre de $u$ noté $\mathrm{Sp}(u)$ est l’ensemble des valeurs propres de $u$.
$\mathrm E_{\lambda}(u)=\mathrm{ker}(u-\lambda \rm Id_E)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$. Il est stable par $u$.

• Théorème : Un endomorphisme  $u\in \mathcal L(\rm E)$ possède au plus $\rm dim (E)$ valeurs propres.
• Théorème : Si $\lambda_1,\ldots \lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $\rm E_{\lambda_1},\ldots,\mathrm E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.

Méthode 3 : Identifier les éléments propres d’une matrice carrée

• Les valeurs propres de $\rm A\in M_n(\mathbb K)$ sont les racines du polynôme caractéristique de $\rm A : \chi_A$ avec $\rm \chi_A(X)=det(XI_n-A)$
• Le polynôme caractéristique de $\rm A$ peut être calculé avec la formule suivante : 

$\rm \chi_A(X)=X^n-tr(A)X^{n-1}+$ $\ldots +$ $\rm (-1)^n det(A)$

• Propriété : Les valeurs propres complexes d’une matrice réelle sont deux à deux conjuguées.
• Propriété : Deux matrices semblables ont le même spectre.